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Ableitung durch implizite Differentiation

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Differentialgleichung, Ellipse, impliziertes Differenzieren dy/dx bestimmen, Kardioide

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21:34 Uhr, 14.04.2010

Hallo,
Ich soll folgende Funktionen durch implizite Differentiation ableiten:

Ellipse:

b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}

und
Kardioide:

{(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x (x^{2} + y^{2}) = y^{2}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
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21:46 Uhr, 14.04.2010

Hallöle,

y

ist eine Funktion von

x,

y

abzuleiten, muß also die Kettenregel angewendet werden.
Beispiel

(y^{2})' = 2 y \cdot y'

y

nicht mit Termen von

x

angegeben ist, sind die Ableitungen eben
abstrakt als

2 y

für die äußere bzw.

y'

für die innere Abl. anzugeben.

Beispiel Elipse:

b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}

Beide Seiten der Gl. ableiten:

b^{2} \cdot 2 x + a^{2} \cdot 2 y \cdot y' = 0

(a

und

b

sind Konstanten)

Das Ganze kann man dann noch nach Bedarf umstellen,

z . B

y' = f (x, y)

mfg

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12:52 Uhr, 15.04.2010

Also, bei der Ellipse hab ich das Ganze hinbekommen. Nur bei dem anderen hängts bei mir... Ich hab bis jetzt:

2 (x^{2} + y^{2}) \cdot (2 x + 2 y \cdot y') - 2 (x^{2} + y^{2}) - 2 x (2 x + 2 y \cdot y')

Wie kann ich das noch weiter zusammenfassen?

vulpi aktiv_icon

18:29 Uhr, 15.04.2010

Hallo, du hast die

y^{2}

auf der rechten Seite der Gleichung vergessen.

Also hinter dein Ergebnis kommt noch ein

- 2 y y' = 0

Zusammenfassen:
Nach

y'

auflösen.

Vielleicht wär's günstig, wenn du die

(x^{2} + y^{2})

als Einheit läßt.
Und ich würd als erstes mal nach den

y y'

Gliedern auflösen.

Also mit

u = (x^{2} + y^{2})

und

v = y y'

2 u \cdot 2 (x + v) - 2 u - 2 x 2 (x + v) - 2 v = 0

2 u (x + v) - u - 2 x (x + v) - v = 0

2 u x + 2 u v - u - 2 x x - 2 x v - v = 0

Das

v

muß isoliert werden:

v (2 (u - x) - 1) = u + 2 x x - 2 u x

v = \frac{u (1 - 2 x) + 2 x^{2}}{2 (u - x) - 1}

Rücksubstitution:

y' = \frac{(x^{2} + y^{2}) (1 - 2 x) + 2 x^{2}}{y (2 (x^{2} + y^{2} - x) - 1)}

Was weiteres Vereinfachen betrifft, ist meine Weisheit erst mal am Ende.

Aber check die Sache unbedingt nochmal selber durch,

den führ Fehlerfreiheit würd' ich mal keine Hand ins Feuer legen :-)

mfg

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13:39 Uhr, 17.04.2010

Danke für deine Antwort.

Also ich kann alles nachvollziehen, bis auf diesen Schritt:

"2ux+2uv-u-2xx-2xv-v=0
Das

v

muß isoliert werden:
v(2(u-x)-1)=u+2xx-2ux"

Kannst du hier vllt genau sagen was du im Einzelnen gemacht hast?
Also in meinem Buch steht das Ergebnis soll

\frac{(x^{2} + y^{2}) (2 x - 1) - 2 x^{2}}{- 2 y (x^{2} + y^{2}) + 2 x y + y}

sein.

vulpi aktiv_icon

16:14 Uhr, 17.04.2010

Hallo !
Ich hab' halt alle Terme mit

v

auf der linken Seite stehen lassen, und ausgeklammert.
Also Trennung

2 u x + 2 u v - u - 2 x x - 2 x v - v = 0

2 u v - 2 x v - v = - 2 u x + u + 2 x x

Dann ausklammern:

v (2 u - 2 x - 1) = u + 2 x x - 2 u x

Die

2

in der inneren Klammer:

v (2 (u - x) - 1) = u + 2 x x - 2 u x

Das Ergebnis im Buch müßte übereinstimmen.
Wenn du mein Ergebnis mit

- 1

erweiterst gibt das:

\frac{- (x^{2} + y^{2}) (1 - 2 x) - 2 x^{2}}{- y (2 (x^{2} + y^{2} - x) - 1)}

Wenn du im Nenner dann noch ausmultiplizierst, wird das zu

\frac{(x^{2} + y^{2}) (2 x - 1) - 2 x^{2}}{- y (2 (x^{2} + y^{2}) - 2 x) - 1} =

\frac{(x^{2} + y^{2}) (2 x - 1) - 2 x^{2}}{- 2 y (x^{2} + y^{2}) + 2 x y + y}

So steht' im Buch.

Das erste Minus im Zähler hab ich durch Umdrehen der Differenz der 2. Klammer
entfernt.

mfg

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13:28 Uhr, 18.04.2010

Aha, jetzt hab ichs verstanden :-)

Danke für deine Hilfe!!

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