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Ableitung einer Exponentialfunktion

Schüler

Tags: Ableitung, Wachstumsmodell

anonymous

16:36 Uhr, 04.03.2014

Hallo!

Ich bin gerade am Wiederholen fürs Abi (Grundkurs) und sitze for folgender Aufgabe:

Für eine Exponentialfunktion mit

f (x) = b^{x}

gilt:

f' (x) = 1,3

(das zweite ist ein

f

strich, erkennt man kaum…)

a)

Wie geht der Graph von

f'

strich aus dem Graphen von

f

hervor?

b)

Bestimmen Sie näherungsweise die Basis

b

für den Funktionsterm von

f

. Geben Sie auch einen Funktionsterm für

f' (f

strich) an.

Wie macht man das? Wie geht man an die Aufgaben heran?

Lieben Dank für hilfreiche Hilfen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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16:41 Uhr, 04.03.2014

"
Für eine Exponentialfunktion mit

f (x) = b^{x}

gilt: f′(x)=1,3
(das zweite ist ein

f

strich, erkennt man kaum…)"

\to

viel schlimmer als der kaume Strich ist der fehlende Rest..

denn wenn

f

(x)

konstant gleich

1,3

wäre, dann wäre

f (x)

eine einfache lineare Funktion..

"hilfreiche Hilfe" - oder?

anonymous

16:43 Uhr, 04.03.2014

Stimmt, Entschuldigung, das war ein Schreibfehler meinerseits…

f' (0) = 1,3,

nicht

f' (x) . .

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16:47 Uhr, 04.03.2014

ok

also

f (x) = b^{x} . .

. mit

b > 0

und

b \neq 1

weisst du, wie die erste Ableitung davon berechnet wird?

\to f

´ (x)

=

anonymous

16:50 Uhr, 04.03.2014

f' (x) = x \cdot b^{x - 1}

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16:54 Uhr, 04.03.2014

... ... ... ... ... ... ... ... ... .

. NEIN !

\to y = b^{x}

ist doch keine Potenzfunktion (die sehen so aus

\to y = x^{m})

\to y = b^{x}

ist eine EXPONENTIALFUNKTION (so wie zB

y = e^{x})

also nochmal

: y = b^{x} \Rightarrow y

´ =?

anonymous

17:00 Uhr, 04.03.2014

ln (b) \cdot b^{x}

?
Falls das richtig ist, wieso leitet man das so ab? Was bewirkt dieses ln?

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17:07 Uhr, 04.03.2014

Mein Tipp dazu:
Es gilt:

b^{x} = e^{{ln b}^{x}} = e^{x \cdot ln b}

Wenn du das richtig ableitest, sollte alles klar sein.

anonymous

17:11 Uhr, 04.03.2014

tut mir leid, aber alles klar ist mir nichts… Wieso kommt da jetzt das

e

mit rein?

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17:26 Uhr, 04.03.2014

Ich habe nur verwendet:

x = e^{ln x} (e

und

ln

im Exponenten heben sich auf)
Analog gilt:

b^{x} = e^{{ln b}^{x}}

Damit lässt sich leichter ableiten.

Tipp:

Stelle dir vor:

ln b

vertritt eine Zahl.Behandle also

ln b

genauso wie eine Zahl, die es im Exponenten abzuleiten gilt.

Beispiel:

f (x) = 2^{x} = e^{{ln 2}^{x}} = e^{x \cdot ln 2}

- - \to f' (x) = e^{x \cdot ln 2} \cdot ln 2 = 2^{x} \cdot ln 2

anonymous

18:40 Uhr, 04.03.2014

Also wenn man dann

f (x) = b^{x}

mit

b^{x} =

e^lnb^x beschreibt, dann ist die Funktion:

f (x) =

e^lnb^x
abgeleitet ist diese Funktion dann

f' (x) =

lnbx

\cdot

e^lnb^x ?

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18:57 Uhr, 04.03.2014

Nein.
Die Ableitung lautet:

e^{{ln b}^{x}} \cdot ln b = b^{x} \cdot ln b

Die Ableitung des Exponenten

{ln b}^{x} (= x \cdot ln b)

ist

ln b

Vgl:
Die Ableitung von

e^{a \cdot x}

ist

a \cdot e^{a \cdot x}

.
Beim Ableiten muss der Exponent nachdifferenziert werden.

a \cdot x

ergibt nachdifferenziert nur noch

a

.
Folglich ergibt

ln b \cdot x

nachdifferenziert

ln b

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19:00 Uhr, 04.03.2014

sorry, aber ich kann Deinen letzten Beitrag nicht so ganz erkennen.
Mach zwischen

ln

und

b

ein Leerzeichen und klammere jeweils die Argumente ein, dann klappt es hier mit der Darstellung.
also:

f (x) = b^{x}

f (x) = e^{ln (b^{x})}

f (x) = e^{x \cdot ln b}

Jetzt ableiten mit der Kettenregel:

f' (x) = e^{x \cdot ln b} \cdot ln b

f' (x) = ln b \cdot e^{x ln b}

klar warum?

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