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Ableitung einer Nutzenfunktion

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Tags: Ableitung, Folgen, Reihen

kati27

11:33 Uhr, 19.06.2009

Hallo ich bin für eine Arbeit mit folgender Funktion für Konsumentenrente konfrontiert und stehe auf dem Schlauch:

$C S = Σ_{i = 1}^{m} V_{i} - \frac{1}{2} [m (1 - s) Σ_{i = 1}^{m} {(V_{i})}^{2} + s {(Σ_{i = 1}^{m} V_{i})}^{2}] - γ Σ_{i = 1}^{m} A_{i} V_{i}$

mit $V_{i}$ , die Zeit die ein Zuschauer mit den TV-Sendern $i = 1, ..., m$ verbringt

m Anzahl der TV-Sender $m \geq 2$

$γ$ ist ein Faktor für die Belästigung durch Werbung

$A_{i}$ ist die Werbezeit, die vom Sender $i = 1, ..., m$ gesendet wird

es soll nach $\frac{d C S}{d V_{i}}$ abgeleitet werden, ich komme aber nicht auf das Ergebnis:

$V_{i} = \frac{1}{m} [1 - γ \frac{A_{i} - s \bar{A}}{1 - s}]$ mit $\bar{A} = \frac{1}{m} Σ_{i = 1}^{m} A_{i}$

Ich könnte die Funktion prima nach $V$ ableiten, nach $V_{i}$ allerdings nicht. Ich würde

$Σ_{i = 1}^{m} V_{i}$ nach $V_{i}$ ableiten, so daß da 1 herauskommt, und bei ${(Σ_{i = 1}^{m} V_{i})}^{2}$ würde ich $2 * {(Σ_{i = 1}^{m} V_{i})}^{1} * 1$ , aber bei der mittleren Summer, weiß ich nicht nach welcher Regel man da ableitet.

Vielen Dank

Kati

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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12:30 Uhr, 19.06.2009

Würde sagen das du nach den gleichen Regeln ableitest. Hab im Forum folgendes gefunden

http//www.onlinemathe.de/forum/Ableitung-einer-Summenfunktion

Die erste Summe würde ich auch gleich 1 setzen, die zweite Summe wie folgt

(

\sum (V_{i})^{2}

)' =

\sum (2 V_{i})^{1}

Die vierte Summe würde ich denken das folgendes richtig ist.

(\sum (A_{i} V_{i}))'

A_{i} (\sum (V_{i}))'

A_{i}

Schwieriger wird die dritte Summe, denn

(

\sum (V_{i}))^{2} \neq \sum (V_{i})^{2}

Kann man die Summe einfach durch eine Variable ersetzen und dann die Kettenregel anwenden? Würde dann zum selben Ergebnis führen wie die zweite Summe.

z=

\sum (V_{i})

(z^{2})

' =

2 \cdot z \cdot z'

2 \cdot \sum (V_{i}) \cdot 1

\sum (2 V_{i})

Vielleicht kann das jemand anderes bestätigen oder wiederlegen.

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12:33 Uhr, 19.06.2009

Okay die letzte Summe kann laut dem Ergebnis von Dir nicht stimmen. Vom Ergbenis her würde bei der Ableitung von der ersten Summe

\frac{1}{m}

rauskommen.

kati27

16:29 Uhr, 20.06.2009

Danke für deine Hilfe. Ich habe mir folgendes überlegt:

${[Σ_{i = 1}^{m} V_{i}]}^{2} = {[V_{1} + V_{2}]}^{2}$ für m=2

demnach könnte man diese Binomische Formel ausmultiplizieren und hätte dann

$[V_{1}^{2} + 2 V_{1} V_{2} + V_{2}^{2}]$ doch wie leitet man das dann nach $V_{i}$ ab?

Lg Kati

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