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Ableitung einer Summenformel

Universität / Fachhochschule

Tags: Ableitung, Summenformel

gummipunkt

09:58 Uhr, 02.05.2013

Liebes Forum,

meine Mathe-Zeit ist schon ein Weilchen her

(,

so es sie denn mal gab). Kann mir jemand auf die Sprünge dabei helfen, die folgende Funktion abzuleiten?

\sum_{i = 0}^{x - 1} {0,95}^{i} \cdot (- 0,0008 \cdot x + 0,025)

(mit

x = {1, ...,30})

Für

x \cdot (- 0,0008 \cdot x + 0,025)

habe ich per Produktregel

(- 0,0008 \cdot x + 0,025) - 0,0008 \cdot x

ermittelt. Aber wie sähe das Pendant oben aus?

Bin für Hinweise dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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pwmeyer aktiv_icon

10:27 Uhr, 02.05.2013

Hallo,

ich verstehe Deine Frage noch nicht:

x - 1

ist obere Schranke der Summe, sollte also ganzzahlig sein - dann hat man aber keine Funktion von

x,

die man differenzieren kann?

Gruß pwm

Tine1 aktiv_icon

10:59 Uhr, 02.05.2013

Lieber Gummip,

deine Aufgabe enthält Summe über Summen, was man(n) eigentlich anders formuliert.
Überprüfe doch zuerst noch einmal die Angaben in deiner Quelle.

Soll

x

ein Element aus den natürlichen Zahlen sein?
Das ist eher nicht so, nehme ich an.

Gruß,
Tine1

gummipunkt

11:33 Uhr, 02.05.2013

Danke schon mal für die Antworten.

Ja richtig,

x - 1

wäre die "obere Schranke". Für

x = 2

soll sich damit ergeben:

{0,95}^{0} \cdot (- 0,0008 \cdot 1 + 0,025) + {0,95}^{1} \cdot (- 0,0008 \cdot 2 + 0,0025) = 0,025055

Vielleicht zum Hintergrund, da die Summe vermutlich schon formal falsch bzw. das Konstrukt keine

f (x)

ist: Ich möchte den Extremwert der Funktion in der Grafik im Anhang algebraisch bestimmen. Hierfür benötige ich die Ableitung, um dort die Nullstelle (hier:

x \approx 10)

zu errechnen.

Der Summenindex soll ganzzahlig sein.

PS: Der Knackpunkt ist, dass anstatt von

x \cdot (...)

nun

{0,95}^{0} + {0,95}^{1} + ... + {0,95}^{x - 1} \cdot (...)

abgeleitet werden muss.

Matlog aktiv_icon

13:32 Uhr, 02.05.2013

Pwmeyer hat bereits darauf hingewiesen, dass es für eine Funktion, die nur auf den natürlichen Zahlen definiert ist, keinen Sinn macht, überhaupt von einer Ableitungsfunktion zu sprechen. Das geht höchstens dann, wenn man sie "zwischendrin" sinnvoll fortsetzen kann.

Wo hast Du denn Deine Grafik her?
Die dürfte doch eigentlich nur aus einzelnen Punkten bestehen, statt einer kontinuierlichen Linie.

Besonders irritierend finde ich Dein Beispiel für

x = 2

.
Steht in der Ausgangsformel jetzt

- 0,0008 \cdot x

oder

- 0,0008 \cdot i

0,025

oder

0,0025

?

Wenn Du das mal sauber aufschreibst, dann können wir vielleicht weiter sehen.

gummipunkt

15:30 Uhr, 02.05.2013

Stimmt, da ist was dran. Die Punkte habe ich einfach "verstetigt" und den Graph mit einer Programmiersprache zeichnen lassen. Allerdings vereinfacht:

{0,95}^{x} \cdot x \cdot (- 0,0008 \cdot x + 0,025)

(siehe auch

[1])

.

Hmm es ist kein Lehrbuch-Beispiel, sondern eine eigene "Überlegung", mit der - um den Kontext herzustellen - eine Umsatzfunktion im kaufmännischen Bereich abgebildet werden soll.

f (x) = - 0,0008 \cdot x + 0,025

ist der Erlös pro einer Einheit

x

. Dann soll

f 2 (x) = x \cdot f (x)

die Summe für eine bestimmte Menge von

x

sein.

Soweit, so gut - für

f 2

war die Ableitung bzw. die Ermittlung des Extremums

(=

Umsatzmaximum) ja weniger problematisch.

Hier hapert es:

f 3 (x)

soll prinzipiell wie

f 2 (x)

sein, mit dem Unterschied, dass von

x

nach und nach ein konstanter Teil "verloren" geht. Beispiel: Für

x = 4

soll gelten

f 3 (4) = ({0,95}^{0} + {0,95}^{1} + {0,95}^{2} + {0,95}^{3}) \cdot f (4) = 0,08087527

. Denn

f 2 (4) = 4 \cdot f (4) = 0,0872

würde den Umsatz zu hoch ausweisen.

Wie würde man dies vernünftig formalisieren?

[1]

www.google.de/search?q=0.95^x*x*(-0.0008*x%2B+0.025)

Matlog aktiv_icon

17:05 Uhr, 02.05.2013

Okay, dann stimmt die von Dir ganz am Anfang oben angegebene Summenformel, auch formal.
(Ich war nur unsicher wegen des verunglückten Beispiels für

x = 2 .)

\sum_{i = 0}^{x - 1} {0,95}^{i}

ist eine (endliche) geometrische Reihe, für die man ausgerechnet auch

\frac{1 - {0,95}^{x}}{1 - 0,95}

schreiben kann.

Somit lässt sich der gesamte Ausdruck zu

f (x) = 20 \cdot (1 - {0,95}^{x}) \cdot (- 0,0008 \cdot x + 0,025)

vereinfachen.
Da diese Funktion jetzt für alle

x \in ℝ

definiert ist, kannst Du hier mit Differentialrechnung arbeiten.
Die Ableitung lässt sich problemlos bilden. Wenn man diese aber gleich Null setzt, dann kann man die entstandene Gleichung nicht lösen (ich jedenfalls nicht).
Mit einem Näherungsverfahren

(z . B

. Newton-Verfahren) kann man die Nullstelle der Ableitung aber trotzdem ausrechnen

(x = 12,9211,

aber ohne Gewähr).

Da Du allerdings nur ganze Zahlen für

x

einsetzen darfst, ergibt sich

x = 13

als Maximum, was man ja auch durch fleißiges Einsetzen finden kann.
Zur Kontrolle:

f (12) = 0,1416

f (13) = 0,1421

f (14) = 0,1414

gummipunkt

21:07 Uhr, 02.05.2013

. .

. danach habe ich gesucht - danke! Auf den Trick

17 [1]

wäre ich nie gekommen. Und näherungsweise erhalte ich damit auch

12,92109

als Nullstelle

[2]

- -

[1]

www.michael-holzapfel.de/themen/grenzwert/geoReihe/geo_Reihe.htm

[2]

stat.ethz.ch/R-manual/R-patched/library/stats/html/uniroot.html

1092415

1092279

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