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Ableitung einer verketteten Funktion (DGL)

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Ableitung, einer verketteten Funktion (DGL)

NEPH1L1M aktiv_icon

09:35 Uhr, 08.03.2013

Es geht um eine Bahngleichung

y = (\frac{α}{2}) \cdot x^{2}

(Parabelförmig) für die, die Beschleunigung eines Punktes gesucht wird, mit kartesischen Koordinaten!

Geschwindigkeit = const

\dot{y} = α x \dot{x}

Zwischen den Geschwindigkeitskomponeten besteht noch die Beziehung:

{\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} = v_{0}^{2}

\Rightarrow {\dot{x}}^{2} = \frac{v_{0}^{2}}{1 + {(α \cdot x (t))}^{2}}

\Rightarrow {\dot{y}}^{2} = \frac{v_{0}^{2} \cdot {(α \cdot x (t))}^{2}}{1 + {(α \cdot x (t))}^{2}}

Schauen wir uns mal nur

{\dot{x}}^{2} = \frac{v_{0}^{2}}{1 + {(α \cdot x (t))}^{2}}

an.

Um zur Beschleunigung zu kommen muss

\dot{x}

abgleitet werden:

Linke Seite

\Rightarrow 2 \cdot \dot{x} \cdot \overset{..}{x}

[

korrigiert]

Rechte Seite (hier bin ich mir jetzt nicht sicher, ob es korrekt ist was ich machte)

u = \frac{1}{1 + {(α \cdot x (t))}^{2}} \cdot v_{0}^{2} \Rightarrow

u´

= - \frac{1}{{(1 + (α^{2} \cdot x^{2}))}^{2}} \cdot v_{0}^{2}

x {(t)}^{2}

ist ja wiederum eine verkettete Funktion mit

f = α^{2} x^{2}

und

g = x (t)

\Rightarrow

f´

= α^{2} \cdot 2 x

\Rightarrow

g´

= \dot{x}

\Rightarrow

f´

\cdot

g´=

α^{2} \cdot 2 x \cdot \dot{x}

u´

= \frac{d u}{d x} = \frac{d u}{d x} \cdot \frac{d x}{d t}

\Rightarrow

u´=

- \frac{1}{{(1 + (α^{2} \cdot x^{2}))}^{2}} \cdot 2 \cdot α^{2} \cdot x \cdot \dot{x} \cdot v_{0}^{2} = - \frac{2 \cdot α^{2} \cdot x \cdot \dot{x}}{{(1 + (α^{2} \cdot x^{2}))}^{2}} \cdot v_{0}^{2}

sodaß am Ende folgendes herauskommt(zumindest bei mir

) :

2 \cdot \dot{x} \cdot \overset{..}{x} = - \frac{2 \cdot α^{2} \cdot x \cdot \dot{x}}{{(1 + (α^{2} \cdot x^{2}))}^{2}} \cdot v_{0}^{2}

[

korrigiert]

\overset{..}{x} = - \frac{α^{2} \cdot x \cdot v_{0}^{2}}{{(1 + (α^{2} \cdot x^{2}))}^{2}}

[

korrigiert]

Danke im voraus !

VlG Neph1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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ARTMath100 aktiv_icon

10:00 Uhr, 08.03.2013

Linke Seite:

[x'^{2}]' = 2 \cdot x' \cdot x''

Rechte Seite:

[- \frac{v_{0}^{2}}{{(1 + α^{2} \cdot x^{2})}^{2}}]' = \frac{2 \cdot v_{0}^{2} \cdot 2 \cdot α^{2} \cdot x \cdot x'}{{(1 + α^{2} \cdot x^{2})}^{3}}

\Rightarrow

2 \cdot x'' = \frac{4 \cdot v_{0}^{2} \cdot α^{2} \cdot x}{{(1 + α^{2} \cdot x^{2})}^{3}}

also Beschleunigung:

x'' = \frac{2 \cdot v_{0}^{2} \cdot α^{2} \cdot x}{{(1 + α^{2} \cdot x^{2})}^{3}}

NEPH1L1M aktiv_icon

11:28 Uhr, 08.03.2013

Hallo ARTMath100,

vielen Dank für deine schnelle Rückantwort.

Habe die linke Seite korrigiert - war natürlich falsch !

Deine Lösung der rechten Seite kann ich leider nicht nachvollziehen

: (

Wo genau habe ich einen Fehler gemacht?

V . l . G

. Neph

ARTMath100 aktiv_icon

11:53 Uhr, 08.03.2013

Rechte Seite :

Wir leiten nach

t

ab

Doppelte Vekettung:

r (t) = u (w (x (t))) = - \frac{v_{0}^{2}}{{(1 + α^{2} \cdot x^{2} (t))}^{2}}

v_{0}^{2}

und

α^{2}

sind Konstante Parameter

u (t) = - \frac{v_{0}^{2}}{t^{2}} \Rightarrow u' (t) = 2 \cdot \frac{v_{0}^{2}}{t^{3}} \Rightarrow u' (w (x (t))) = 2 \cdot \frac{v_{0}^{2}}{{(1 + α^{2} \cdot x^{2} (t))}^{3}}

w (t) = 1 + α^{2} \cdot t^{2} \Rightarrow w' (t) = 2 \cdot α^{2} \cdot t \Rightarrow w' (x (t)) = 2 \cdot α^{2} \cdot x (t)

x (t) \Rightarrow x' (t) = x' (t)

mit Kettenregel gilt:

r' (t) = u' (w (x (t)) \cdot w' (x (t)) \cdot x' (t)

NEPH1L1M aktiv_icon

13:51 Uhr, 10.03.2013

Hallo Artmath,

hast du nicht einen Fehler bei der Funktion u gemacht?

u = 1 / (1 + α^{2} x^{2})

und nicht

u = 1 / (1 + α^{2} x^{2})^{2}

Der Term

(1 + α^{2} x^{2})

wird nicht quadriert.

u (f (x (t)))

Mit

u = 1 / (1 + α^{2} x^{2})

= u ´ = - 1 / (1 + α^{2} x^{2})^{2}

f = 1 + α^{2} x^{2} = > f ´ = 2 α^{2} x

x = x (t) = > x ´ = \dot{x}

Kettenregel

u (f (x (t))) ´ = u ´ (f (x (t))) * f ´ (x (t)) * x ´ (t)

= - 1 / (1 + α^{2} x^{2})^{2} * 2 α^{2} x * \dot{x}

= > 2 \dot{x} * \overset{..}{x} = - (1 * v_{0}^{2}) / (1 + α^{2} x^{2})^{2} * 2 α^{2} x * \dot{x}

V.l.G.
Nephi

ARTMath100 aktiv_icon

14:27 Uhr, 10.03.2013

Ja ich habe da im Nenner ein

{(...)}^{2}

schon in der Funktion hineingemogelt:

damit ist

u (t) = \frac{1}{t} v (t) = 1 + α^{2} \cdot t w (t) = x (t)

[x'^{2} (t)]' = [\frac{v_{0}^{2}}{1 + α^{2} \cdot x^{2} (t)}]'

2 \cdot x' (t) \cdot x'' (t) = - \frac{v_{0}^{2}}{{(1 + α^{2} \cdot x^{2} (t))}^{2}} \cdot α^{2} \cdot 2 \cdot x (t) \cdot x' (t)

x'' (t) = - \frac{v_{0}^{2}}{{((1 + α^{2} \cdot x^{2} (t)))}^{2}} \cdot α^{2} \cdot x (t)

Das sollte jetzt stimmen!

NEPH1L1M aktiv_icon

14:35 Uhr, 10.03.2013

Hallo artmath,

danke für deine weitere Unterstützung.

Ich denke nein, wieso jetzt ein ln ?

Schau mal meinen ergänzten Post darüber bitte an.
(Warum die Darstellung nicht korrekt ist, weiß ich nicht o_O)

L.G. NEPHI

NEPH1L1M aktiv_icon

13:14 Uhr, 11.03.2013

Hallo ARTmath

deine Lösung (Post 14:27 Uhr, 10.03.2013) stimmt meiner Meinung nach schon deshalb nicht, weil
di eBeschleunigung bei x=0 Ihr Maximum haben sollte.

x ʺ (t) = v_{0}^{2} \cdot l n (1 + α^{2} \cdot x^{2} (t)) \cdot α^{2} \cdot x (t))

l n (0)

ist aber nicht definiert

L.G. NEPHI

ARTMath100 aktiv_icon

22:33 Uhr, 11.03.2013

ln

wird zwar nicht 0 für

x = 0

wegen

1 + . .,

aber der

ln

ist natürlich Quatsch. Ich habe den letzten post nochmal überarbeitet!

Und mit der Änderung bin ich dann auch bei Deiner Lösung!

NEPH1L1M aktiv_icon

08:37 Uhr, 12.03.2013

Hi Artmath ,

jep das 1+ hatte ich auch übersehen !

Ok, dann ist ja alles richtig und das Problem gelöst.

Vielen Dank für deine Zeit und Geduld!

L.G. NEPHI

ARTMath100 aktiv_icon

12:13 Uhr, 12.03.2013

Gern geschehen! Ich lern ja auch immer wieder mit.

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