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Ableitung im Intervall

Schüler Gymnasium,

Tags: Ableitung, Analysis

castyk aktiv_icon

15:15 Uhr, 07.05.2017

Hallo, Es geht um die Aufgabe wie im Anhang hochgeladen. Ich habe zunächst für die Extrema normal abgeleitet zu:

f ʹ (x) = - e^{- x} * (2 x^{2} - x + 1) + e^{- x} * (4 x - 1)

bzw. zusammengefasst zu:

f ʹ (x) = - (2 x^{2} - 5 x + 2) * e^{- x}

Jedoch geht die Funktion nicht auf für f'(x) = 0. Ich nehme an, ich muss eine linksseitige Ableitung durchführen nur für die im Intervall angegebenen x-Werte. Jedoch habe ich nirgendswo gefunden, wie ich diese nun durchführen muss.
Kann mir jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
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Matheboss aktiv_icon

15:27 Uhr, 07.05.2017

Mitternachtsformel ergibt

x_{1} = 2 \lor x_{2} = \frac{1}{2}

beide liegen im Intervall

x \in [0; 3]

Jetzt musst du noch die Randextrema bestimmen

f (0) = . .

f (3) = . .

.

und jetzt aus den Aussagen die globalen Extremwerte bestimmen!

castyk aktiv_icon

15:31 Uhr, 07.05.2017

Hallo, Erstmal danke für die sehr schnelle Antwort.
Wieso konntest du jetzt jedoch Einfach die Mitternachtsformel anwenden? Immerhin hängt ja noch ein

e^{- x}

dran oder ?

rundblick aktiv_icon

16:04 Uhr, 07.05.2017

.
fʹ(x)=−(2

x^{2}

−

5 x + 2

)∗e^(-x)

f' (x) = 0 ... . \Rightarrow

?

" Immerhin hängt ja noch ein

e^{- x}

dran oder ? "

da Matheboss verdiente Pause macht, hier eine kurze Antwort:

\to

richtig - ABER findest du, dass dieser Faktor

\to 0

werden könnte ??

.

castyk aktiv_icon

16:11 Uhr, 07.05.2017

Nein eine Zahl mit Exponent wird niemals ohne Hilfe 0. aber heißt dass das man die Zahl einfach "weglassen" darf?

rundblick aktiv_icon

16:16 Uhr, 07.05.2017

\to

du hast da ein Produkt , das Null werden soll

\to (. . A . .) \cdot B = 0

WANN HAT EIN PRODUKT DEN WERT 0 ?

\to ...

.

.

castyk aktiv_icon

16:20 Uhr, 07.05.2017

Wenn in diesem Fall entweder A oder B oder beides Null ist. Da jedoch nun B =! Null ist wie bereits erklärt, kann man den Faktor weglassen, da das nicht zur Null führt, richtig?
Und es muss gelten:
A = 0
Also in dem Fall die oben Genannte Klammer = 0 und somit Ausführung der Mitternachtsformel

rundblick aktiv_icon

16:26 Uhr, 07.05.2017

\to

ja, richtig
hier kann nur der erste Faktor (der in der Klammer) Null werden ..

. .

\to

kannst du nun die in der Aufgabe gestellte Frage nach all den
möglichen Extrema richtig beantworten ?

mach mal

\to . .

.

.

castyk aktiv_icon

16:48 Uhr, 07.05.2017

Ok nun mithilfe der Mitternachtsformel komme ich auch auf die lokalen Extremwerte von x1 = 2 und x2 = 0.5.
Nun setze ich für f'(0) und f'(3) ein; also die Randwerte des Intervalls.
f'(0) = -2 < 0.5
f'(3) = -0.24893534183

Bei f'(0) liegt ein globaler Extrempunkt und zwar das Minima, da der Wert kleiner als der lokale Extrema ist.
Bei f'(3) wiederum ist der Wert für x = 3 wesentlich kleiner als das lokale Maxima, also befindet sich hier keine globale Maxima oder?

rundblick aktiv_icon

16:54 Uhr, 07.05.2017

.
"Nun setze ich für

f' (0)

und

f' (3)

ein; also die Randwerte des Intervalls"

NEIN - um die Randwerte (->DAS SIND FUNKTIONSWERTE!) zu bekommen
musst du in die Funktionsgleichung einsetzen ..
also

f (0) =

? ...und

f (3) =

. .

.

und dazu:
"komme ich auch auf die lokalen Extremwerte von

x 1 = 2

und

x 2 =

0.5."

\to

auch das ist noch nicht korrekt
.. das sind nur die x-Werte der möglichen Extrema

du musst erst noch herausfinden, welche Koordinaten die Punkte an diesen
Stellen haben und ob es Minima oder Maxima (welcher Art?) sind..
nebenbei:
Merke: Kurvenpunkte sind erst bekannt, wenn beide Koordinaten ermittelt sind.

also denn ..
.

castyk aktiv_icon

17:01 Uhr, 07.05.2017

In dem Fall ergibt sich nun:
f(0) = 1
f(3) = 0,796593093885823 = 0,80
Was bedeutet das nun?

rundblick aktiv_icon

17:06 Uhr, 07.05.2017

.
"Was bedeutet das nun? "

lies oben nochmal nach (hatte dir noch zusätzlich was notiert)

hm.. hast du dich "verabschiedet" ?
schade.

castyk aktiv_icon

17:31 Uhr, 07.05.2017

Ok zunächst gilt es also die hinreichende Bedingung erfüllen um so sehen ob es sich um Minima/Maxima handelt.

f ʺ (x) = (2 x^{2} - 9 x + 7) * e^{- x}

f''(2) = - 0,406005849709838 = - 0,41 < 0 Hier liegt ein Tiefpunkt
f''(0.5) = 1,8195919791379 = 1,82 > 0 Hier liegt ein Hochpunkt

Koordinaten berechnen:

f(2) = 0,947346982656289 = 0.95
f(0.5) = 0,606530659712633 = 0.61

Koordinaten der lokalen Extrema wären somit:
Extrema1 (2|0.95)
Extrema 2 (0.5|0.61)

rundblick aktiv_icon

17:44 Uhr, 07.05.2017

.

.

du hast also jetzt für

x \in [0, 3]

vier spezielle Punkte deiner Kurve:

A (0; 1)

B (0,5; 0,61) ...

. mit

f' (\frac{1}{2}) = 0 . .

. lokales MINIMUM

!!

C (2; 0,95) ...

. mit

f' (2) = 0 .

. lokales MAXIMUM

!!

D (3; 0,8)

für die möglichen lokalen Extrema hast du richtig angefangen aber falsch zugeordnet
(siehe)
jetzt musst nun noch klären, welche besonderen Eigenschaften die 4 Punkte haben
hinsichtlich der Fragestellung der Aufgabe

also:

. .

.

.

castyk aktiv_icon

17:57 Uhr, 07.05.2017

Kannst du mir kurz die Bedingungen für ein globales Extrema erläutern? Mein Skript macht dies leider total unverständlich

rundblick aktiv_icon

18:06 Uhr, 07.05.2017

.
globale Extrema sind einfach Punkte der Kurve
mit grösstem (bzw. kleinstem) Funktionswert (y-WERT

!)

in EINEM ABGESCHLOSSENEN INTERVALL

f (x) = (2 x^{2} - x + 1) \cdot e^{- x}

für

x \in [0, 3] \Rightarrow

A (0; 1) ...

. GLOBALES MAXIMUM

B (0,5; 0,61) ...

. mit

f' (\frac{1}{2}) = 0 . .

. lokales MINIMUM

!!

..UND GLOBALES MINIMUM

C (2; 0,95) ...

. mit

f' (2) = 0 .

. lokales MAXIMUM

!!

D (3; 0,8) ...

. ((lok.Min.))

.

castyk aktiv_icon

18:11 Uhr, 07.05.2017

Achsoo das ist ja dann doch ganz simpel. Dann hätte ich keine Fragen mehr. Vielen Dank für die sehr kompetente Hilfe! :-)

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