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Ableitung tang arcsin arccos

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung

anonymous

13:05 Uhr, 25.01.2012

Hi, ich soll die Ableitungen von tang arcsin und arccos bestimmen.

Tang ist ja bekanntermaßen

\frac{sin}{cos}

somit gehe ich davon aus, dass ich hier die Produktregel verwenden muss.

u = sin (x); u' = cos (x)

v = cos (x); v' = - sin (x)

\frac{u' \cdot v - v' \cdot u}{v^{2}} = (\frac{cos (x) \cdot cos (x) - (- sin (x) \cdot sin (x))}{{cos}^{2} (x)}) = (\frac{{cos}^{2} (x) + {sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)}) = 1 + {tan}^{2} (x)

Wie muss ich denn jetzt

z . B

. vorgehen, wenn ich die anderen beiden Ableitungen bestimmen will?
Oder kann man die nur mithilfe der Umkehrregel bestimmen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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Edddi aktiv_icon

14:02 Uhr, 25.01.2012

...du meintest wohl eher die Quotientenregel...

Ergebniss passt

1 + {tan}^{2} (x)

kannst du auch noch als

\frac{1}{{cos}^{2} (x)} = {sec}^{2} (x)

darstellen

Für die inversen Fuktionen nutzt du die Umkehrregel:

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} \Rightarrow f' (x) = \frac{1}{g^{- 1} (y)'}

Mit

g^{- 1}

ist die inverse Funktion gemeint.

So ist

y = {sin}^{- 1} (x) \Rightarrow x = sin (y)

und somit:

{sin}^{- 1} (x)' = \frac{1}{sin (y)'} = \frac{1}{cos (y)} = \frac{1}{\sqrt{1 - {sin}^{2} (y)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

;-)

anonymous

14:04 Uhr, 25.01.2012

Hi, danke für deine Antwort !

Du hast den trigonometrischen Pythagoras verwendet, oder ?

Und ja...ich meinte die Quotientenregel, klar

Dann hätte ich noch eine Frage, wenn's recht ist ;-)

Ich habe mich gestern verdammt lange daran versucht, das Integral von

\int {(cos (x))}^{2} d x

zu berechnen, aber es hat nicht richtig geklappt. Wenn es dir nicht allzu große Umstände bereiten würde, wäre es echt nett, falls du mir zeigen könntest, wie man diesen Ausdruck integriert.

Edddi aktiv_icon

14:12 Uhr, 25.01.2012

...jau, den hab' ich auch verwendet.

;-)

Edddi aktiv_icon

14:15 Uhr, 25.01.2012

...nutze einfach

{cos}^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot cos (2 \cdot x)

...übrigens lassen sich alle Potenzen von Sinus und Cosinus in Summen aus Einer-Potenzen auflösen.
So ist

z . B

{cos}^{3} (x) = \frac{3}{4} \cdot cos (x) + \frac{1}{4} \cdot cos (3 \cdot x)

usw.

;-)

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