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Ableitung vom Matrix im 2. Norm

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Ableitung, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Matrix, Norm

ManuJo aktiv_icon

09:30 Uhr, 12.04.2022

Hallo liebe Leute,

ich habe die folgende Formel:

L =

||y-Ax||^2

- c \cdot \sum_{i}^{n} \sum_{j, i \neq j}^{n} x_{i} \cdot x_{j}

wobei

c

eine constante ist und

x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix})

.

Ich muss diese Formel nach

x_{1}

ableiten respektive

\frac{\partial L}{\partial x_{1}}

berechnen. Jedoch bin ich mir nicht sicher, wie das geht. Die Ableitung der Doppelsumme glaube ich ist

- 2 \cdot c \cdot \sum_{i, i \neq 1}^{n} x_{i}

da die Doppelsumme als

x_{1} \cdot x_{2} + . .

x_{1} \cdot x_{n} + x_{n} \cdot x_{1} + . .

. geschrieben werden kann. Bei dem Norm denke ich, dass dessen Ableitung gleich

- 2 \cdot (y -

Ax)

\cdot A'

ist wobei

A'

nur in der ersten Spalte aus den Werten von A besteht und sonst nur 0 hat.

Ist diese Ableitung korrekt? Würde mich auf Antworten und Lösungen sehr freuen.

Liebe Grüsse

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Kartoffelchipsman aktiv_icon

13:49 Uhr, 12.04.2022

Ich würde das bis auf die unsaubere Formulierung von

A'

bestätigen.
Ich hab, grob notiert, entwickelt:

\frac{\partial L}{\partial x_{1}} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x_{1}} (< y - A \cdot x, y - A \cdot x > - c \cdot \sum_{k = 1}^{n} \sum_{l = 1, l \neq k}^{n} x_{k} \cdot x_{l})

(ich vermute einfach mal, dass

L

Funktion von

x, y \in R^{n}

ist, also

L : R^{n} \times R^{n} \to R)

= \frac{\partial}{\partial x_{1}} (< y, y > - 2 \cdot < y, A \cdot x > + < A \cdot x, A \cdot x > - c \cdot x_{1} \cdot \sum_{k = 2}^{n} x_{k} - c \cdot \sum_{k = 2}^{n} \sum_{l = 1, l \neq k}^{n} x_{k} \cdot x_{l})

= \frac{\partial}{\partial x_{1}} (- 2 \cdot < y, A \cdot x > + < A \cdot x, A \cdot x >) - 2 \cdot c \cdot \sum_{k = 2}^{n} x_{k}

= - 2 \cdot < y, a_{1} > + \frac{\partial}{\partial x_{1}} (< A \cdot x, A \cdot x >) - 2 \cdot c \cdot \sum_{k = 2}^{n} x_{k}

= - 2 \cdot < y, a_{1} > + 2 \cdot < A \cdot x, a_{1} > - 2 \cdot c \cdot \sum_{k = 2}^{n} x_{k}

= 2 \cdot (< A \cdot x - y, a_{1} > - c \cdot \sum_{k = 2}^{n} x_{k}),

wobei

a_{1} \in R^{n}

die 1. Spalte von A sei

(und das alles natürlich für den Standardraum

R^{n})

ManuJo aktiv_icon

14:39 Uhr, 12.04.2022

Vielen Dank für die Antwort. Hat mir sehr weitergeholfen!

Kartoffelchipsman aktiv_icon

20:37 Uhr, 12.04.2022

Ich hab noch eine Frage an Dich:

Hat diese Formel oben vielleicht irgendeine Dir bekannte Bedeutung in Physik & Co.

oder ist es bloß eine rein mathematische Übung ?

Der Teil

\sum_{k = 1}^{n} \sum_{l = 1, l \neq k}^{n} x_{k} \cdot x_{l}

wirkt nämlich irgendwie interessant -

ich würde das als die "quadratlose quadratische Form" bezeichnen,

die eine markante Matrix hat,

für

n = 4 z . B

\sum_{k = 1}^{4} \sum_{l = 1, l \neq k}^{4} x_{k} \cdot x_{l} = < x, B \cdot x >

mit

B = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix})

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