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Ableitung von Bruchfunktionen / relatives Extremum

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, bruchfunktionen, Extrema, relativ

COCOYAM aktiv_icon

17:14 Uhr, 25.04.2010

Halli Hallo! Habe grad ein paar Probleme bei meinen Mathehausaufgaben.

Die Aufgabe war: Berechne das relative Extremum. Ist es ein relatives Maximum oder Minimum?
Funktion:

f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2}}

Mein 1. Problem: Wie leite ich das richtig ab? Im Internet habe ich gelesen, dass man hierfür die Quotientenregel anwendet.

f (x) = \frac{u}{v} \Rightarrow

f'(x)=(u'v-uv')/v^2
Dies habe ich auch gemacht und es kam nach vielen kürzen und Klammer ausrechnen

f' (x) = \frac{x^{3} - 2}{x^{3}}

raus. Meine erste Frag, ist das Ergebnis richtig? Wenn nein, wie heisst es richtig und wie berechnet man den?

2. Problem: Wie berechnet man das realative Extremum? Hab in meinem Heft stehen dass für ein relatives Extrema:

f' (x) = 0

gilt. Heisst es ich muss einfach nur meine 1. Ableitung gleich 0 setzen?

3. Problem: Wie erkenne ich, ob es ein rel. Maximum oder rel. Minimum ist?

Brauch ich für diese AUfgabe eigentlich die 2. Ableitung?

= O

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

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Shipwater aktiv_icon

17:21 Uhr, 25.04.2010

Hallo,

deine Ableitung

f' (x) = \frac{x^{3} - 2}{x^{3}}

ist korrekt. Hätte man aber auch ohne Quotientenregel erhalten können:

f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = x + x^{- 2}

f' (x) = 1 - \frac{2}{x^{3}} = \frac{x^{3} - 2}{x^{3}}

Nun zu der Extremstelle. Mögliche Extremstellen sind erstmal Nullstellen der ersten Ableitung. Und ein Bruch wird dann Null wenn sein Zähler (und nicht gleichzeitig sein Nenner) Null wird:

x^{3} - 2 = 0

x^{3} = 2

x = \sqrt[3]{2}

Jetzt könntest du mit

f'' (x)

weiterarbeiten aber ich finde das zu kompliziert jetzt nochmal abzuleiten und arbeite mit der Vorzeichenwechselmethode.

Der Nenner ist in der Umgebung positiv und der Zähler ist für kleinere Zahlen negativ und für größere Zahlen positiv. Insgesamt ergibt sich also ein Vorzeichenwechsel von - nach

+

was heißt, es handelt sich um ein Minimum.

Aber was solls hier noch der Weg über die zweite Ableitung:

f' (x) = \frac{x^{3} - 2}{x^{3}} = \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{2}{x^{3}} = 1 - 2 x^{- 3}

f'' (x) = \frac{6}{x^{4}}

f'' (\sqrt[3]{2}) = \frac{6}{2^{\frac{4}{3}}} > 0 \Rightarrow

Minimum

COCOYAM aktiv_icon

17:42 Uhr, 25.04.2010

danke für deine schnelle antwort! hab alle deine rechenschritte nachvollziehen können, nur das mit dem letzten part verstehe ich nicht so ganz.
wärst du so lieb und könntest es mir nochmal erklären? ich habe dazu auch die graphen zeichnen lassen um es leichter nachvollziehen zu können aber ich stehe auf dem schlauch

= (

Habe ich es richtig verstanden? Um die 2. Ableitung zu Bilden musst man einfach nochmal die Ableitung von der 1. bilden?

Shipwater aktiv_icon

17:45 Uhr, 25.04.2010

Ja, um an die zweite Ableitung zu kommen musst du die erste ableiten.
Schau auch mal hier nach: www.onlinemathe.de/mathe/inhalt/Extrema
Da ist auch nochmal das mit der hinreichenden Bedingung erklärt.

COCOYAM aktiv_icon

17:56 Uhr, 25.04.2010

dankesehr!

Shipwater aktiv_icon

19:55 Uhr, 25.04.2010

Gern geschehen.

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