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Ableitung von (X^T) x X nach X

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Ableitung, Matrizenrechnung, transponiert, transponierte Matrix

ecometh aktiv_icon

13:53 Uhr, 04.11.2015

Liebe Community,

ich versuche folgende Matrix abzuleiten:

(X^{T}) \cdot X

X^{T}

ist die transponierte Matrix X. Matrix

X

ist quadratisch und nicht singulär.

Mein Ansatz ist folgender:

\frac{d (X^{T} \cdot X)}{d (X)}

= \frac{d (X^{T})}{d (X)} \cdot X + X^{T} \cdot \frac{d (X)}{d (X)}

= I \cdot X + X^{T} \cdot

= 2 \cdot X

Da wo das Fragezeichen steht, weiss ich leider nicht weiter. Ich weiss nur durch Formelsammlungen, dass man am Ende auf

2 \cdot X

kommen muss. Aber wie ist der Weg dort hin?

Ich bedanke mich für eure Hilfe im Voraus!

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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14:07 Uhr, 04.11.2015

Und was bitte schön soll

\frac{d (X^{T})}{d (X)}

bedeuten?
Und überhaupt, wenn es um eine Ableitung geht, dann muss zuerst mal gesagt werden, in welchem Punkt.

ecometh aktiv_icon

14:14 Uhr, 04.11.2015

Und was bitte schön soll

\frac{d (X^{T})}{d (X)}

bedeuten?

>

Das soll einfach das

Δ

sein, was man für Ableitungen nutzt. Das heißt einfach: "Ableitung der transponierten Matrix

X

nach der Matrix X. Oder kann man es so nicht formulieren?

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14:16 Uhr, 04.11.2015

Meinst Du die Frechet-Ableitung?

ecometh aktiv_icon

16:17 Uhr, 04.11.2015

Nein. Keine Frechet-Ableitung.

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16:22 Uhr, 04.11.2015

Nun, was ist es dann? "Gewöhnliche" Ableitungen gibt's nur in

R^{n}

, aber Matrizen liegen nicht in

R^{n}

. Also, der Ausdruck

\frac{d (X^{T})}{d (X)}

ist zuerst mal sinnlos. Kannst Du ihn mit Sinn füllen?

ecometh aktiv_icon

16:36 Uhr, 04.11.2015

Probieren wir mal einen anderen Anfang:

Beispiel:

http//www-wiwi-cms.uni-regensburg.de/images/institute/vwl/tschernig/lehre/foek/foe_ov_matrizenableitungen.pdf

Unter "Anwendungen der Matrixableitungen: Sei wie oben wieder A ∈ Rm×n,

B

∈ Rp×q,

x

∈ Rn und

X

variabel, aber passend, dann gilt:

[...]

"

Nun siehe die Ableitung von "Matrix A transponiert mal Matrix A" nach "Matrix A".

Mich interessiert nun der Weg zu dieser Lösung. Der Unterschied zu hier: Dort sind die Matrizen nicht unbedingt symmetrisch und dort hat man die allgemeine Form als Lösung stehen.

Wie kommt man dort zu der Lösung dieser Ableitung?

DrBoogie aktiv_icon

16:52 Uhr, 04.11.2015

"Mich interessiert nun der Weg zu dieser Lösung."

Nun, nach diesen Definitionen ist der Weg auch klar. Wenn auch nicht einfach.
Nur die Frage - verstehst Du, was

\otimes

bedeutet?

ecometh aktiv_icon

16:57 Uhr, 04.11.2015

Ehrlich gesagt: Nein. Ich kenne dieses Zeichen bisher nur aus der Physik bei Schaltskizzen :-)

DrBoogie aktiv_icon

18:43 Uhr, 04.11.2015

Das ist ein Tensorprodukt. Und das ist alles andere als einfach.
Wenn Du z.B. die Formel für

\frac{d (A A^{T})}{d A}

Dir anschaust, wirst Du sehen, dass das als Ergebnis keine gewöhnliche Matrix steht, sondern eine Matrix, die aus Matrizen besteht.
Und auf jeden Fall stimmt Deine Berechnung vom Anfang nicht, wenn man die Definitionen von www-wiwi-cms.uni-regensburg.de/images/institute/vwl/tschernig/lehre/foek/foe_ov_matrizenableitungen.pdf nutzt. Das wird viel komplizierter.

Darf ich fragen, wozu Du es überhaupt brauchst? Mich wundert, dass Leute in der Ökonometrie so komplexe Sachen machen. Ich kann mir irgendwie nicht vorstellen, wozu das nützlich sein kann.

DrBoogie aktiv_icon

08:56 Uhr, 05.11.2015

Damit Du Dir überhaupt vorstellen kannst, was hier passiert, ein kleines Beispiel.
Ich berechne

\frac{d (X^{T} X)}{d (X)}

nach der Definition von www-wiwi-cms.uni-regensburg.de/images/institute/vwl/tschernig/lehre/foek/foe_ov_matrizenableitungen.pdf
für den einfachsten Fall einer

2 \times 2

-Matrix.

Also,

X = (\begin{array}{rcl} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array})

.
Dann gilt

X^{T} X = (\begin{array}{rcl} x_{1}^{2} + x_{3}^{2} & x_{1} x_{2} + x_{3} x_{4} \\ x_{1} x_{2} + x_{3} x_{4} & x_{2}^{2} + x_{4}^{2} \end{array})

.
Bevor man ableitet, muss man die Matrizen als Vektoren schreiben, also dann wird

X = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})

und

X^{T} X = (x_{1}^{2} + x_{3}^{2}, x_{1} x_{2} + x_{3} x_{4}, x_{1} x_{2} + x_{3} x_{4}, x_{2}^{2} + x_{4}^{2})

.

Damit wird

\frac{d (X^{T} X)}{d (X)}

zuerst mal eine

4 \times 4

-Matrix (einfach Jacobi)

(\begin{array}{rcl} 2 x_{1} & 0 & 2 x_{3} & 0 \\ x_{2} & x_{1} & x_{4} & x_{3} \\ x_{2} & x_{1} & x_{4} & x_{3} \\ 0 & 2 x_{2} & 0 & 2 x_{4} \end{array})

.

Dass als Ergebnis eine

4 \times 4

-Matrix rauskommt, soll nicht überraschen, denn wenn Du auf das Ergebnis in www-wiwi-cms.uni-regensburg.de/images/institute/vwl/tschernig/lehre/foek/foe_ov_matrizenableitungen.pdf kuckst, siehst Du, dass da

(I_{n^{2}} + T_{n, n}) (I_{n} \otimes A^{T})

steht, und sowohl

I_{n^{2}}

als auch

I_{n} \otimes A^{T}

sind

n^{2} \times n^{2}

-Matrizen, also für unser Beispiel

4 \times 4

-Matrizen (ich habe schon geschrieben, dass ein Tensorprodukt von Matrizen eine Matrix aus Matrizen ist, daher kommt

n^{2}

).

Die Formel kann ich leider nicht verifizieren, weil ich nicht weiß, wass

T_{n, n}

ist.

ecometh aktiv_icon

11:34 Uhr, 06.11.2015

Vielen lieben Dank für deine Mühe!
Sehr nett von dir! :-)

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