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Ableitung von zwei Variablen in einer Funktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung, Ableitungsregeln, Differentiation, Funktion

Springmaus aktiv_icon

13:54 Uhr, 14.07.2010

Hey Ho.

Ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und mache ein paar Übungsaufgaben.
$z$ . B. Stationäre Punkte berechen, Integrieren, und so. Alles an sich gar kein Problem, doch ich habe keine Ahnung wie ich die folgende Funktion ableiten soll und ob meine Ableitung korrekt ist.

$y = f (x) = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{1} x_{2}$

Die kann man ja nur nach einem $x$ (entweder $x_{1}$ oder $x_{2})$ ableiten, also würde entweder

$f^{'} (x) = 3 x_{1}^{2}$ oder $f^{'} (x) = 3 x_{2}^{2}$ rauskommen, oder?

mir geht es nur ums ableiten, der rest ist einfach.

mfg Springmaus

und wenn ich weis, wie ich so etwas richtig ableite, kann ich es auch integrieren.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte

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Edddi aktiv_icon

14:28 Uhr, 14.07.2010

...sowas nennt sich "partielle Ableitung"

Wie du schon richtig erkannt hast, kann nur jeweils nach einer Variablen abgeleitet werden.

Bei nur einer Variable $(x)$ schreibst du ja so: $\frac{d f (x)}{d x} = f' (x)$

Bei der partiellen Ableitung wird die Variable als Fußnote in der verkürzten Schreibweise dargestellt:

Man schreibt:

$\frac{δ f (x, y)}{δ x} = F_{x} (x, y)$ bzw. $\frac{δ f (x, y)}{δ y} = F_{y} (x, y)$

oder nach nochmaligem Ableiten eben je nach Ableitungsreihenfolge:

$F_{x y x x}$ oder $F_{y y x y}$

oder so:

$\frac{δ (\frac{δ f (x, y)}{δ x})}{δ y} = F_{x y}$

..bei deinen Ableitungen steckt ein kleiner Fehler!

Entweder so:

$f (x_{1}) = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{1} \cdot x_{2}$

dann ist:

$f' (x_{1}) = 3 \cdot x_{1}^{2} + x_{2}$

bzw.

$f (x_{2}) = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{1} \cdot x_{2}$

dann ist:

$f' (x_{1}) = 3 \cdot x_{2}^{2} + x_{1}$

oder über partielle Diff. (ist das gleiche Verfahren):

$f (x_{x}, x_{2}) = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{1} \cdot x_{2}$

dann ist:

$\frac{δ f (x_{1}, x_{2})}{δ x_{1}} = F_{x_{1}} = 3 \cdot x_{1}^{2} + x_{2}$

und

$\frac{δ f (x_{1}, x_{2})}{δ x_{2}} = F_{x_{2}} = 3 \cdot x_{2}^{2} + x_{1}$

$. .$ . und noch weiter:

$\frac{δ (\frac{δ f (x_{1}, x_{2})}{δ x_{1}})}{δ x_{2}} = \frac{δ F_{x_{1}}}{δ x_{2}} = F_{x_{1} x_{2}} = 1$

$\frac{δ (\frac{δ f (x_{1}, x_{2})}{δ x_{2}})}{δ x_{1}} = \frac{δ F_{x_{2}}}{δ x_{1}} = F_{x_{2} x_{1}} = 1$

...und noch rein informativ folgender elementarer Zusammenhang:

Sei $y = f (x)$

und somit implizit: $y - f (x) = 0 = f (x, y)$ so gilt:

$y' = - \frac{F_{x}}{F_{y}}$

..so, dies mal als Gedankenanschubser...

;-)

Springmaus aktiv_icon

15:00 Uhr, 14.07.2010

Hey Danke.

Nun weis ich endlich, was ich noch machen muss.

mfg Springmaus

Springmaus aktiv_icon

14:28 Uhr, 15.07.2010

und wie müsste ich vorgehen, wenn ich die ableitungen für einen bestimmten vektor haben will, wie zum beispiel für:

$x^{0} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$

würde es da reichen, wenn ich zum beispiel nach $x_{1}$ ableiten will und $x^{0}$ für $x_{2}$ einsetze?

$f (x) = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{1} \cdot x_{2}$

${f (x)}_{x_{1}} = 3 \cdot x_{1}^{2} + (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$

${f (x)}_{x_{2}} = 3 \cdot x_{2}^{2} + (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$

so zum beispiel?

ich finde dazu im internet auch nichts, weswegen ich für hilfe sehr dankbar bin

mfg springmaus

hagman aktiv_icon

13:26 Uhr, 17.07.2010

Die Ableitung insgesamt ist dann ein Vektor $D f = (\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \frac{\partial f}{\partial x_{2}}) = (3 x_{1}^{2} + x_{2}, 3 x_{2}^{2} + x_{1}),$ bei dem sich durch Einsetzen von $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}),$ also $x_{1} = x_{2} = 1$ das Ergebnis $(4, 4)$ ergibt.

Übrigens: Wenn $x$ wiederum eine Funktion ist $(d . h$ . $x_{1}$ und $x_{2}$ sind Funktionen $z . B$ . von $t),$ ergibt sich
$\frac{d f}{d t} = D f \cdot \frac{d x}{d t} = (\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \frac{\partial f}{\partial x_{2}}) \cdot (\begin{matrix} \frac{d x_{1}}{d t} \\ \frac{d x_{2}}{d t} \end{matrix}) = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} \cdot \frac{d x_{1}}{d t} + \frac{\partial f}{\partial x_{2}} \cdot \frac{d x_{2}}{d t}$
laut Kettenregel im Mehrdimensionalen.
Hieraus gewinnt man viele Differenziations regeln im Eindimensionalen zurück:
Ist $f (x_{1}, x_{2}) = x_{1} + x_{2},$ so folgt $D f \cdot \frac{d x}{d t} = \frac{d x_{1}}{d t} + \frac{d x_{2}}{d t},$ was $(f + g)' = f' + g'$ entspricht.
Ist $f (x_{1}, x_{2}) = x_{1} \cdot x_{2},$ so folgt $D f \cdot \frac{d x}{d t} = \frac{d x_{1}}{d t} \cdot x_{2} + x_{1} \frac{d x_{2}}{d t},$ was $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$ entspricht.

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