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Ableitungen Schwingungsgleichungen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Differenzialrechnung, Schwingungsgleichung

Spax94 aktiv_icon

10:24 Uhr, 26.04.2012

Hallo zusammen, wir haben uns in Physik neulich mit der Schwingungsgleichung (harmonisch) beschäftigt. Aus reinem Interesse würde ich gerne die Ableitungen verstehen:

y (t) = y_{0} \cdot sin (ω t + φ_{0})

v (t) = ω \cdot y_{0} \cdot cos (ω t + φ_{0})

a (t) = - ω^{2} y_{0} \cdot sin (ω t + φ_{0})

Ich habe Mathematik als Grundkurs, Physik jedoch als LK.
Innere Ableitung hatte ich noch nicht, wurde mir aber schnell erklärt:

f (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}

f' (x) = 3 {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 2 x

Ich verstehe nicht, warum einige Variablen erhalten bleiben und warum in der zweiten Ableitung, also für die Beschleunigung

ω^{2}

steht. Sitze grade noch in der Schule, weshalb ich mich nicht an der Problemlösung beteiligen kann, also bitte nur das Verfahren, oder was ich nicht begreife.

Grüße Spax

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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funke_61 aktiv_icon

10:45 Uhr, 26.04.2012

Zunächst ist wichtig:
Die einzige Variable, nach der hier abgeleitet wird, ist

t

.
Alle anderen Größen

y_{0}, ω

und

φ_{0}

sind bei diesen beiden Ableitungen "konstant".

Die "Amplitude" bzw. die Ortsfunktion einer harmonischen Schwingung ist

y (t) = y_{0} \cdot sin (ω t + φ_{0})

y

ist eine Funktion der Zeit

t

deshalb steht hier

y (t)

Wenn man die Amplitude bzw. Ortsfunktion

y (t)

nach der Zeit

t

ableitet, erhält man die "Geschwindigkeitsfunktion der Schwingung".

v (t) = \frac{d y (t)}{d t} = \frac{d (y_{0} \cdot sin (ω t + φ_{0}))}{d t}

Die Zeit

t

ist hier nur im Argumnet des Sinus enthalten.

y_{0}

ist ein Vorfaktor und wird einfach abgeschrieben.

ÄUSSERE ABLEITUNG: Die Ableitung des Sinus ist der Kosinus.

Hinten habe ich zunächst "formal" die Innere Ableitung (des Argumentes der Sinusfunktion) nach dem "

\cdot

" dazugeschrieben:

v (t) = \frac{d y (t)}{d t} = y_{0} \cdot (cos (ω t + φ_{0})) \cdot \frac{d (ω t + φ_{0})}{d t}

INNERE ABLEITUNG:

φ_{0}

ist eine Konstante und fällt bei der Inneren Ableitung weg, also muss man nur "

ω t

" ableiten. Damit ist das Ergebnis der Inneren Ableitung "nur" das

ω

(ω

ist ein konstanter "Vorfaktor" vor dem

t

nachdem abgeleitet wird.)

v (t) = \frac{d y (t)}{d t} = y_{0} \cdot (cos (ω t + φ_{0})) \cdot ω = ω \cdot y_{0} \cdot cos (ω t + φ_{0})

;-)

PS: Vergleiche die Ableitung von

f (x) = 2 x + 3

f' (x) = \frac{d (2 x + 3)}{d x} = 2

funke_61 aktiv_icon

15:18 Uhr, 26.04.2012

Warum steht in der zweiten Ableitung

ω^{2}

?
In der ersten Ableitung kommt das

ω

vor dem

y_{0}

durch die Innera Ableitung des Argumentes der Sinusfunktion zustande (siehe meine Antwort oben).
In der zweiten Ableitung entsteht noch ein Faktor

ω

durch die Innere Ableitung des Argumentes der Kosinusfunktion (Die Ableitung des "

cos

" ist übrigens der "

- sin

" daher das Minuszeichen).
Dieses

ω

wird mit dem

ω \cdot y_{0}

ω^{2} y_{0}

Spax94 aktiv_icon

15:38 Uhr, 26.04.2012

jo danke, dass mit ableitung von

cos

- sin

weiß ich, mir war nur irgendwie nicht ganz klar, dass ich nach

t

ableite, meine lehrerin meinte vorhin noch zu mir, das wäre aber schon hochschulmathematik und nicht so wichtig fürs abi

: S

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