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Ableitungen mit Quotientenregel und Produktregel

Schüler Sonderberufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung

Judit aktiv_icon

08:24 Uhr, 02.05.2012

Hallo zusammen,

ich möchte gerne erfahren wie man die genannten Funktionen ableitet.

Ich habe es schon probiert, leider klappt es noch nicht ganz.

Für mich wäre wichtig, die Ableitung schritt für schritt zu sehen.

f(x)= $\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}$

y=(x²+3)^4(2x³-5)³

LG,

Judit

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irena

08:53 Uhr, 02.05.2012

Guten Morgen,
zu

f (x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}

für die Ableitung musst du die Quotientenregel anwenden:f(x)=u/v

f' (x) = \frac{u' \cdot v - v' \cdot u}{v^{2}}

u = \sqrt{x - 1} = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}

u' = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}}

v = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}

v' = \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}

Einsetzen:

f' (x) = \frac{\frac{1}{2 (\sqrt{x - 1})} \cdot \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}}{x + 1}

reicht das?

rundblick aktiv_icon

10:20 Uhr, 02.05.2012

.. oder: bei

y = f (x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}

kommst du auch mit der Ketten- und der Quotientenregel auf einen grünen Zweig:

innere Funktion:

z = \frac{x - 1}{x + 1} \to

Ableitung mit der Qotientenregel

: z' = \frac{d z}{d x} = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}

äussere Funktion:

y = \sqrt{z} = z^{\frac{1}{2}} \to

Ableitung:

\frac{d y}{d z} = \frac{1}{2} \cdot z^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{z}}

\to f' (x) = \frac{d y}{d z} \cdot \frac{d z}{d x} = \frac{d y}{d x} = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{z}} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{2} \cdot \sqrt{x - 1}} = \frac{1}{(x + 1) \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

ok?

ach ja:
könnte es sein, dass deine zweite Aufgabe vielleicht so aussieht?

\to

y = {(x^{2} + 3)}^{4} \cdot {(2 x^{3} - 5)}^{3}

Judit aktiv_icon

10:51 Uhr, 02.05.2012

Hallo, genau so soll die Funktion lauten, allerdings ist das doch analog zu meiner Schreibweise, oder etwa nicht?

rundblick aktiv_icon

10:59 Uhr, 02.05.2012

"..allerdings ist das doch analog zu meiner Schreibweise, oder etwa nicht?"

nicht unbedingt, denn deine Darstellung der Aufgabe könnte ja auch noch so gelesen werden:

y = {(x^{2} + 3)}^{4 \cdot {(2 x^{3} - 5)}^{3}}

Judit aktiv_icon

11:26 Uhr, 02.05.2012

achso okay :)

Judit aktiv_icon

11:26 Uhr, 02.05.2012

achso okay :)

Atlantik aktiv_icon

12:18 Uhr, 02.05.2012

2)

f (x) = {(x^{2} + 3)}^{4} \cdot {(2 x^{3} - 5)}^{3}

Substituiere mal:

u = {(x^{2} + 3)}^{4}

dann ist

u

´=...( äußere Ableitung und innere Ableitung)

v = {(2 x^{3} - 5)}^{3}

dann ist

v

´=.... ebenso wie bei

u

.

Das Ganze dann mit der Produktregel verknüpfen:

(u \cdot v)

´=

u

\cdot v + v

\cdot u

mfG

Atlantik

Judit aktiv_icon

14:07 Uhr, 02.05.2012

$\to f' (x) = \frac{d y}{d z} \cdot \frac{d z}{d x} = \frac{d y}{d x} = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{z}} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{2} \cdot \sqrt{x - 1}} = \frac{1}{(x + 1) \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}$

ich verstehe die Vereinfachung nur Teilweise und zwar wie kommt man von:

$\frac{2}{(x + 1) ²} * \frac{1}{2 * \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}} =$ auf:

$\frac{\sqrt{x + 1}}{(x + 1) * \sqrt{x² - 1}}$ und dann auf $\frac{1}{(x + 1) * \sqrt{x² - 1}}$

danke :)

Matheboss aktiv_icon

14:26 Uhr, 02.05.2012

... = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}}} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{2} \cdot \sqrt{x - 1}} =

= \frac{\sqrt{x + 1}}{(x + 1) \cdot (x + 1) \cdot \sqrt{x - 1}} = \frac{1}{(x + 1) \cdot \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}} =

= \frac{1}{(x + 1) \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

lg MB

Judit aktiv_icon

15:46 Uhr, 02.05.2012

$wieso genau bekomme ich auf ?$

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}}} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{2} \cdot \sqrt{x - 1}} =$

$\frac{1}{\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}}} = 1 \times \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}} = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}}$

$und dann ist$

$oder? dann komme ich nämlich genau auf den Therm.$

rundblick aktiv_icon

15:57 Uhr, 02.05.2012

ZITAT
Unknown node type: apply

oder? dann komme ich nämlich genau auf den Therm.
ZITAT ENDE

echt? der Therm ist ja heiss, aber nähmlich immerhin genau richtig ohne

h .

.

apply

\to .

Judit aktiv_icon

16:18 Uhr, 02.05.2012

$\frac{1}{\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}}} = 1 \times \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}} = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}}$

ist der obrige Therm richtig aus der Funktion somit komme ich dann nämlich auf

$\frac{1}{(x + 1) ²} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}} = \frac{\sqrt{x + 1}}{(x + 1) ² \cdot \sqrt{x - 1}}$

oder?

Danke :)

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