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Ableitungen so richtig?

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Ableitung, Grundregeln

mathenull89

14:32 Uhr, 28.03.2011

Hallo,
als absolute Mathenull muss ich mich in meinem naturwissenschftlichen Studiengang leider trotzdem damit beschäftigen.
In einer Beispielklausur mussten wir den Extremwert
der Funktion

f (x) = 2 \cdot x \cdot e^{- 0,04} \cdot x

berechnen. Mein Problem: ich weiß nicht wie ich das Ableiten soll bzw. ob das was ich gemacht habe richtig ist.
Als erste Ableitung habe ich nach dem Anwenden von Produkt- und Kettenregel folgende Funktion: f´(x)=

- 0,08 x \cdot e^{- 0,04} x + e^{- 0,04} x

und für die zweite Ableitung bekomme ich folgende Funktion: f´´(x)=

0,0032 x \cdot e^{- 0,04} x - 0,04 \cdot e^{- 0,04} x

. Stimmt das?

Und dann muss ich noch die Taylorreihe bis zum dritten Glied für folgende Funktion berechnen:

f (x) = ln (1 + x)

und dabei steh ich komplett auf dem Schlauch.
Ich hab dafür die Kettenregel angewendet,aber es kommt ja immer etwas mit

\frac{1}{x}

raus, wenn man den

ln

ableitet. Aber

a = 0

und das kann man dann nicht mehr berechnen, weil man durch null teilen müsste, was ja bekanntlich nicht geht. Also hab ich mir überlegt, dass man

\frac{1}{x}

anders schreiben muss, aber ich weiß nicht wie...

Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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Tarengrim aktiv_icon

15:08 Uhr, 28.03.2011

Die Ableitung ist nicht ganz korrekt.

f (x) = 2 x \cdot e^{,04 \cdot x}

f' (x) = -,08 \cdot e^{,04 \cdot x} + 2 \cdot e^{,04 \cdot x}

schrieb doch mal die Produktregel, wie du sie gerechnet hast hier rein. (ich hoffe wenigstens das

x

am ende soll oben als Exponent von

e

stehen.)

und zum zweiten Punkt,

ln (x + 1)

abgeleitet ergibt

\frac{1}{x + 1},

womit

a = 0

auch möglich sein sollte.

irena

15:12 Uhr, 28.03.2011

du wendest die produktregel an:u=2x

, u' = 2, v = e^{- 0.04 x}, v' = - 0.04 e^{- 0.04 x}

=>f'(x)=2e^(-0.04x)-0.08xe^(-0.04x)=e^(-0.04x)(2-0.04x)

irena

15:24 Uhr, 28.03.2011

f"(x)=

e^{- 0.04 x} (- 0.08 - 0.08 x + 0.0032 x^{2})

f' (x) = 0 : 2 - 0.08 x = 0 \Rightarrow x = 25;

e^{- 0.04 x}

nie 0 wird.
f"(25)=?

min

oder

max

Tarengrim aktiv_icon

15:34 Uhr, 28.03.2011

Nicht ganz. Beim zusammenfassen von

f'

hast du einen Fehler gemacht.

f' (x) = 2 e^{- 0.04 x} - 0.08 x \cdot e^{- 0.04 x} = e^{- 0.04 x} (2 - 0.04 x)

da müsste:

e^{- 0.04 x} (2 - 0.08 x)

stehen

bei der zweiten Ableitung schaust du dann nur noch ob das Ergebniss positiv oder Negativ ist, dementsprechend ein Maximum oder Minimum. Oder war die Frage anders gemeint?

irena

16:02 Uhr, 28.03.2011

sollst du die Taylorreihe um 0 entwickeln?

a = 0

\Rightarrow f (0) + \frac{f' (0)}{1!}

x+f"(0)/2!x^2 a

\Rightarrow f (0) = ln 1 = 0

f' (x) = - \frac{1}{x + 1} \Rightarrow f' (0) = - 1

f"(x)=1/(x+1)^2=>f"(0)=1 jetzt kannst du einsetzen in a

mathenull89

19:38 Uhr, 29.03.2011

ich hab noch rückfragen, aber wir haben momentan probleme mit unserem internet und ich bin erst morgen wieder an der reihe^^ sorry

mathenull89

11:18 Uhr, 30.03.2011

okay, da bin ich wieder,
und zwar würde ich gerne noch mal wissen, wie du die ableitung von

ln (1 + x)

gemacht hast. bedeutet der

ln

das immer oben eine 1 steht und man dann den Ausdruck in den Klammern stehen lässt? Oder muss man das verändern und es kommt nur zufällig in diesem Fall dasselbe raus?
Außerdem ist meine erste Ableitung positiv und erst meine zweite Ableitung ist negativ, also andersrum als bei Irena....

Und bei der Extremwertaufgabe ist mir klar wie Irena auf die erste Ableitung gekommen ist, aber ich durchschaue nicht, wie ihr das zusammen fasst. Dabei würde mich auch mal interessieren ob das notwendig ist?
Ich habe ausgehend von der ersten Ableitung noch mal eine zweite gemacht bei der ich mir aber nicht sicher bin ob die genauso ist wie eure.
f´´(x)=

- 0,08 \cdot e^{- 0.04 x} + 0,032 x \cdot e^{- 0,04 x}

Tarengrim aktiv_icon

13:00 Uhr, 30.03.2011

Für den

ln

leitest du so ab:

f (x) = ln (1 + x)

du musst nun zuerst den

ln

ableiten

ln (x)

abgeleitet ergibt ja

\frac{1}{x},

und dann mittels Kettenregel, mit dem abgeleiteten Ausdruck in der Klammer multiplizieren

abgeleitet ist somit zuerst der

ln

mit 1/(Ausdruck des

ln)

mal der inneren Ableitung

1 + x

abgeleitet ist

1 \Rightarrow

f (x) = ln (1 + x)

f' (x) = \frac{1}{1 + x} \cdot 1

woher das Minus kommt bin ich mir auch nicht ganz sicher, ich würde keinen Grund dafür sehen.

War die Ableitung verständlich?

irena

14:59 Uhr, 30.03.2011

Stimmt das minus ist falsch:

f' (x) = \frac{1}{x + 1} \Rightarrow

f"(x)=-1/(x+1)^2

mathenull89

23:21 Uhr, 30.03.2011

Vieln Dank!! Ich hab das tatsächlich gut verstanden.

mathenull89

13:49 Uhr, 31.03.2011

okay, ich hab noch ein paar Funktionen ausgegraben bei denen mir nicht ganz klar ist, ob die Ableitung richtig ist. Zwar ist meine ursprüngliche Frage ja schon beantwortet, aber das passt so gut zum Überthema.

Diese mal geht es um Wurzelfunktionen:

f (x) =

wurzel

(x)

f´(x)=

0,5 \cdot

1/wurzel(x)
f´´(x)= ((2*wurzel(x))- 1/Wurzel(x))/

(2 \cdot

wurzel(x))^2

Vielleicht könnte jmd. posten wie man das Wurzelzeichen macht^^

und die zweite:

f (x) =

wurzel

x^{2} + 2 x

(alles unter der wurzel)

und dabei steht auf meinem klugen zettel, kann man das umschreiben in

{(x^{2} + 2 x)}^{0,5}

aber das leuchtet mir nicht so richtig ein.warum hoch

0,5,

damit die wurzel aufgehoben wird muss man doch hoch 2 rechnen oder seh ich das falsch?

Tarengrim aktiv_icon

14:47 Uhr, 31.03.2011

Ohne Wurzelzeichen ist das echt schwer zu lesen.... bin mir aber ziemlich sicher, dass die zweite Ableitung nicht zumindest überflüssig kompliziert ist, vermutlich aber falsch.

schreib mal wie du darauf kommst.

also

f (x) = \sqrt{x}

f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{\sqrt{x}})

f'' (x) =

?

das zeichen dafür ist "sqrt(x)" ohne Anführungszeichen kommt dann

\sqrt{x}

. wenn du andee wurzeln benötigst, ist der Befehl

"\root(3)(x^2)"

= \sqrt[3]{x^{2}}

Nun zu deiner Frage, die Wurzel ist im Prinzip auch eine Potenz, nur nicht ganzzahlig

\sqrt[a]{x^{b}} = x^{\frac{b}{a}}

\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

\sqrt{x^{2}} = x^{\frac{2}{2}}

\sqrt[5]{x^{8}} = x^{\frac{8}{5}}

daher kommt das. Die wurzel wird nicht aufgehoben, sondern nur umgeschrieben.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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