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Ableitungen von Summen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Ableitung, Folgen und Reihen

JasminTZ aktiv_icon

12:34 Uhr, 27.06.2024

Hallo, wie verhält es sich eigentlich, wenn in einer Gleichung eine Summe ist und man ableiten soll.

als Beispiel:

f (x) = e^{- x} \cdot Σ {(\frac{x}{m!})}^{m}

Reihe bis unendlich.
Wie geht man damit um, kann man das überhaupt ableiten?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Messe687 aktiv_icon

13:24 Uhr, 27.06.2024

Hey,

Klar kannst du Summen ableiten:
Stell dir vor du hast

f (x) + g (x)

. Das abgeleitet wäre einfach

f ’ (x) + g ’ (x)

(Summenregel).
Seien

f_{i} (x)

deine Einträge in der Summe

\sum_{i = 1}^{n} f_{i} (x)

.
Die Ableitung ist einfach die Summe der Ableitungen

f_{i} ’ (x)

\sum_{i = 1}^{n} f_{i} ’ (x) .

In deinem Beispiel musst du zusätzlich noch die Produktregel anwenden:
Sei

f_{1} (x) = e^{- x}

und

f_{2} (x) = \sum (\frac{x}{m!})^{n}

Dann gilt:

f_{1} ’ (x) = - e^{- x}

und

f_{2} ’ (x) = \sum (\frac{1}{m!})^{n} (n - 1) x^{n - 1}

. Du leitest in der Summe jedes mal nach

x

ab. Du musst aber aufpassen, für welche

n

deine Summe ist. Da für

n = 0

der Term konstant wäre und wegfallen würde.

Also gilt für dein definiertes

f (x)

f ’ (x) = f_{1} (x) f_{2} ’ (x) + f_{1} ’ (x) f_{2} (x) = e^{- x} \sum (\frac{1}{m!})^{n} (n - 1) x^{n - 1} - e^{- x} \sum (\frac{x}{m!})^{n}

Das könnte man vermutlich noch besser zusammenfügen, aber so solltest du hoffentlich verstehen, wie das Ableiten von Summen funktioniert.

Schönen Tag,
Felix

JasminTZ aktiv_icon

15:33 Uhr, 27.06.2024

Danke,
kann es sein, dass die Ableitung von

f_{2} (x)

falsch ist - ich glaube du hast da den neuen Parameter reingebracht "n"
Müsste dann wohl alles nur mit "m" geschrieben werden.

Messe687 aktiv_icon

15:35 Uhr, 27.06.2024

Ja genau, einfach alle

n

durch

m

ersetzen :-)

HAL9000

22:40 Uhr, 27.06.2024

1.Frage: Geht es wirklich um

f (x) = e^{- x} \cdot \sum_{m} {(\frac{x}{m!})}^{m}

oder nicht doch eher um

f (x) = e^{- x} \cdot \sum_{m} \frac{x^{m}}{m!}

?

2.Frage: Über welchen Indexbereich läuft die Summe? Wenn es beispielsweise (in Kombination mit 1.) um

f (x) = e^{- x} \cdot \sum_{m = n}^{\infty} \frac{x^{m}}{m!}

mit

n \geq 1

gehen sollte, dann ist

f ´ (x) = - e^{- x} \cdot \sum_{m = n}^{\infty} \frac{x^{m}}{m!} + e^{- x} \cdot \sum_{m = n}^{\infty} \frac{x^{m - 1}}{(m - 1)!} = e^{- x} \cdot \frac{x^{n - 1}}{(n - 1)!}

,

weil sich alle anderen Summenglieder gegeneinander wegheben. (Im Falle

n = 0

käme übrigens

f (x) = 1

sowie dann

f ´ (x) = 0

heraus.)

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