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Abschnittsweise definierten Funktionen.. Probleme

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Funktion, interpolation, Trassierung

dislife aktiv_icon

19:19 Uhr, 09.09.2016

Moin Leute!

Wir haben zurzeit im Unterricht das Thema Interpolation und dazu haben wir eine Aufgabe bekommen, die ich zwar gemacht habe, aber bei der ich mich ziemlich unsicher bin. Ich habe sie nicht wirklich gut verstanden, um ehrlich zu sein und mein Lehrer ist jetzt für eine Woche weg.

Und zwar lautet die Aufgabe: Gegeben sind die folgenden stückweise definierten Funktionen. Überprüfen Sie die Funktionen an den Übergangsstellen auf Sprungfreiheit, Knickfreiheit und Krümmungsruckfreiheit. Die erste lautet:

F (x) = x, x <_{1}

- x^{2} + 4 \cdot x - 2, 1 < x < 2

2, 2 < x

Dazu habe ich die drei Funktionen gezeichnet und die ersten beiden Ableitungen von ihnen gezeichnet. Aber was ich nicht verstehe ist, muss ich wenn ich die Ableitung zeichne, jede Funktion als eine Funktion für sich selbst sehen oder die drei Funktionen als eine? Und stimmt mein Lösungsweg so (siehe Bild) ? Ich hoffe ihr könnt mir helfen

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte
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Sukomaki aktiv_icon

21:19 Uhr, 09.09.2016

Hallo Mahmud,

aus Deiner Skizze werde ich nicht so recht schlau. Ich weiss auch nicht, wie Du
meinst, ob Du - wenn Du die Ableitung zeichnest - jede Funktion für sich selbst
betrachten musst. Die Ableitungen bestimmst Du doch, indem Du stückweise ableitest.

Für eine stückweise definierte Funktion

(f (x) f u e r x < h, g (x) f u e r x \geq h)

gilt :

1. Sie ist sprungfrei an der Übergangsstelle h, wenn

f (h) = g (h)

2. Sie ist knickfrei an der Übergangsstelle h, wenn

f ʹ (h) = g ʹ (h)

3. Sie ist krümmungsruckfrei an der Übergangsstelle h, wenn

f ʺ (h) = g ʺ (h)

Um diese Eigenschaften zu bestimmen, schaust Du Dir an, was herauskommt, wenn Du die
Übergangsstellen mal in das Eine und mal in das Andere Funktionenstück einsetzt.

Ich mache das mal für

F (x)

:
Die erste Übergangsstelle ist 1.

\Rightarrow x = 1

und

- x^{2} + 4 \cdot x - 2 = 1

Die Funktionswerte sind identisch

\Rightarrow

An der Stelle

x = 1

ist

F

sprungfrei.

Die zweite Übergangsstelle ist 2.

\Rightarrow - x^{2} + 4 \cdot x - 2 = 2

und

2 = 2

Die Funktionswerte sind identisch

\Rightarrow

An der Stelle

x = 2

ist

F

sprungfrei.

Wie sieht es nun für

F ʹ (x)

aus?
Die erste Übergangsstelle ist 1.

\Rightarrow 1 = 1

und

- 2 \cdot x + 4 = 2

Die Funktionswerte sind nicht identisch.

\Rightarrow

An der Stelle

x = 1

ist

F ʹ (x)

nicht sprungfrei

\Rightarrow

An der Stelle

x = 1

ist

F (x)

nicht knickfrei.

Bekommst Du den Vergleich für die Übergangsstelle

x = 2

selber hin?
(Auch für die zweite Ableitung und die beiden Übergangsstellen läuft
das Verfahren analog)

Nur zur Kontrolle und zur Veranschaulichung : der Anhang.
(links :