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Analysis

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Integral, Kurvendiskussion, Stammfunktion

maxh1992 aktiv_icon

11:08 Uhr, 28.01.2011

6. Fläche eines Waldes

Gegeben ist die Funktion

f (x) = (3 - x) e^{x}

a)

Untersuchen sie die Funktion auf Nulstellen, Extrema und Wendepunkte. Zeichen Sie den Graphen von

f

im Bereich

[- 1,3] .

Nst.:

x = 3

Ableitungen:
f´(x)=

e^{x} (2 - x)

f´´(x)=

e^{x} (1 - x)

f´´´(x)=

e^{x} (- x)

Extrema:
HP

[2; 7,39]

Wendepunkt:
WP

[1; 5,44]

Ist das so richtig ? Oder habe ich fehler ?

b)

Bestimmen Sie eine Stammfunktion

F

von

f

Ich habe abgeräumt und komme auf :

F (x) = e^{x} (4 - x)

c)

Ein Waldstück wird begrenzt vom Graphen der Funktion von

f

und den Koordinatenachsen. Die Längeneinheit entspricht

100 m

. Das dreiceckige Teilstück, das von den Koordinatenachsen und der Geraden durch die Achsenschnittpunkte von

f

begrenzt wird, soll abgeholzt werden. Welcher Anteil der Waldfläche bleibt erhalten ?

\int f (x) d x = [e^{x} (4 - x)]

von 0 (Schnittpunkt an der y-Achse) bis 3 (Nst.)

= (20,0855) - (4)

= 16,09

FE

Wie rechne ich das in die besagte Längeneinheit von

100 m

um ?

Bitte um Hilfe !
Ich bin mir bei meinen Rechnungen unsicher!
lg Max

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DmitriJakov aktiv_icon

11:19 Uhr, 28.01.2011

Deine Ableitungen sind inkorrekt.
Produktregel:

f (x) = u (x) \cdot v (x); f' (x) = u' (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v' (x)

In Deinem Fall sind

u (x)

und

v (x) :

u (x) = 3 - x

v (x) = e^{x}

u' (x) = - 1

v' (x) = e^{x}

maxh1992 aktiv_icon

11:22 Uhr, 28.01.2011

f´(x)=

- 1 (e^{x}) + 3 - x (e^{x})

f´(x)=

e^{x} (- 1 + 3 - x)

f´(x)=

e^{x} (2 - x)

Das habe ich doch aber raus ??

DmitriJakov aktiv_icon

11:27 Uhr, 28.01.2011

Sorry, stimmt, hatte jetzt nicht zu Ende ausmultipliziert. Es sah nur auf den ersten Blick nach einer falschen Anwendung von Ableitungsregeln aus.

BeeGee aktiv_icon

11:28 Uhr, 28.01.2011

Hallo!

Teil

a)

und

b)

sind korrekt!

c)

Dein Gesamtflächenstück ist auch korrekt

(A = e^{3} - 4

FE). Da eine Längeneinheit

100 m

sind, ist eine Flächeneinheit

100 m \cdot 100 m,

also

10000 m^{2} = 1

ha. Damit hat das Waldstück

16,09

ha.

Der Rest mit dem Dreieck ist trivial, oder?

maxh1992 aktiv_icon

11:30 Uhr, 28.01.2011

Kein Problem.

maxh1992 aktiv_icon

11:32 Uhr, 28.01.2011

Ok super :-)

Das mit der Längeneinheit ahbe ich jetzt auch verstanden.

Aber was meinst du mit dem trivial ?

DmitriJakov aktiv_icon

11:42 Uhr, 28.01.2011

Die Achsschnittpunkte sind bei

(0; 3)

und

(3; 0)

. Daraus ergibt sich ein Dreieck, das Du vom Inegral von 0 bis 3 unter der Funktion abziehen kannst.

Du kannst es auch so machen: Stell die Geradengleichung auf (y=mx+t) und bilde das Integral unter der Geraden.

Habe mal eine Zeichnung angehängt.

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

maxh1992 aktiv_icon

11:45 Uhr, 28.01.2011

Ich kann leider die Zeichnugn nicht sehen. Ghet das noch mit nem anderen Programm ?

DmitriJakov aktiv_icon

11:50 Uhr, 28.01.2011

Hmmm, an sich sollte das ohne Probleme funktionieren, da alles online zur Verfügung gestellt wird. Aber egal, ds Zeichnen des Graphen ist sowieso Teil der Aufgabe. Dann müsstest Du unmittelbar sehen, wie das Waldstück und der abzuholzende Teil aussieht.

Wenn Du öfter hierher kommst, dann gehe vielleicht noch auf "Hilfe". Dort gibt es addons für den IE und für Firefox, die eventuelle Anzeigeprobleme abstellen.

maxh1992 aktiv_icon

11:53 Uhr, 28.01.2011

Es doch

16.09

ha übrig oder ?

Ich verstehe das mit dem dreiceckigen Teilstück nicht.

Es wird doh die Fläche von 0 bis 3 übrig gelassen und alles was bei unter 0 (x-wert) ist wird abgeholzt ?

DmitriJakov aktiv_icon

11:59 Uhr, 28.01.2011

Die Funktion sieht doch aus wie ein Kamelhöcker (im 1. Quadranten).

Das Dreieck, das abgeholzt wird, hat die Seiten: Ursprung-(0|3), Usrsprung

- (3 | 0)

und

(0 | 3) - (3 | 0)

. Und dieses Dreieck ist ein Teil der vom Graph der Funktion und der

x -

und y-Achse eingeschlossenen Fläche.

maxh1992 aktiv_icon

12:03 Uhr, 28.01.2011

Achso durch de Schnittpunkte entsteht im 1 Quadranten ein Dreieck.

Ich dachte die gehen vom Dreieck im 2. Quadranten aus, weil das ja so ähnlich ausieht wie nen Dreieck

Das heißt ich muss die Funktion erstmal aufstellen.

Es ist ja eine "normale" Funktion

y =

mx+n

n = 3

Y=mx+3

Und was mache ich dann ?

maxh1992 aktiv_icon

12:09 Uhr, 28.01.2011

Ein zweites Teilstück gibt es nicht ( im 2. Quadranten) ,weil der graph ein asymptotische Verhalten hat udn dort kein Schnittpuntk mit der x-Achse hat oder ?

DmitriJakov aktiv_icon

12:11 Uhr, 28.01.2011

Du kennst 2 Punkte der Geraden, nämlich die, an denen der Graph der Funktion die Koordinatenachsen schneidet. Das sind also die Nullstelle von

f (x),

die hast Du schon, nämlich

(3 | 0)

und der 2. Punkt ist bei

(0 | f (0))

f (0) = e^{0} (3 - 0) = 3

Also läuft die Gerade bei

x = 0

durch

y = 3,

das ergibt

n = 3,

so weit bist Du schon.

Für

x = 3

läuft die Gerade durch

y = 0,

also gilt:

g (3) = m \cdot 3 + 3 = 0 \to m = - 1

Die Geradengleichung ist also

g (x) = - x + 3

Für diese bildest Du nun das Integral von 0 bis 3 und subtrahierst es vom Integral der Funktion von

0 - 3

(für das Du ja schon den Wert

16,09

bestimmt hast)

BeeGee aktiv_icon

12:14 Uhr, 28.01.2011

Nein, ein zweites Teilstück gibt es nicht. Mit "trivial" meinte ich vorhin, dass das Dreieck aus der Anschauung schon klar wird. Da brauchst Du nichts mehr zu integrieren. Die Gesamtfläche hast Du bereits ausgerechnet, das Dreieck ist ein halbes Quadrat mit Seitenlänge 3 (also