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Arctan ableiten

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Ableitung

Xalooz aktiv_icon

17:10 Uhr, 04.12.2012

Hallo,

ich möchte folgende funktion ableiten, habe aber keine ahnung wie.

f (x) =

arctan

(\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)})

Weiß nur wie man das einfache arctan bestimmt

arctan´(x)=

\frac{1}{1 + x^{2}}

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prodomo aktiv_icon

17:16 Uhr, 04.12.2012

Wenn du dich an derartige Sachen herantraust, musst du auch selbst damit klarkommen.
Das ist nichts, was man kurzfristig erledigen kann.

Xalooz aktiv_icon

20:40 Uhr, 04.12.2012

Ich kann eigentlich alles ableiten, was nicht mit arc zu tun hat.Wie fängt man hier an? Die Regeln kenn ich auch alle.

mathemaus999

20:42 Uhr, 04.12.2012

Hallo,

versuch es doch mal mit der Kettenregel.
Die äußere Ableitung hast du ja schon angegeben. Die innere solltest du hinbekommen.

Grüße

Xalooz aktiv_icon

20:55 Uhr, 04.12.2012

Stimmt die innere Ableitung?

\frac{2 ({sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x))}{{(sin (x) - cos (x))}^{2}} = \frac{2}{{(sin (x) - cos (x))}^{2}}

Xalooz aktiv_icon

21:01 Uhr, 04.12.2012

Ist das richtig

\frac{2}{{(sin (x) - cos (x))}^{2}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}

anonymous

21:15 Uhr, 04.12.2012

Also die Ableitung bilden ist eher das kleine Problem, sie menschlich umformen ein anderes.

f (x) =

atan

(\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)})

tan (f (x)) = \frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)}

[1 + {tan}^{2} (f (x))] \cdot f' (x) = {(\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)})}^{'}

f' (x) = \frac{{(\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)})}^{'}}{1 + {(\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)})}^{2}}

und jetzt umformen

. .

.
Hier wird die Ableitungsformel für arctan vermieden, man kann natürlich auch gleich die Ableitung für arctan verwenden, liefert das selbe Ergebnis )

anonymous

21:27 Uhr, 04.12.2012

f' (x) = - 1

anonymous

21:31 Uhr, 04.12.2012

@Xalooz

21 : 01

dein

x^{2}

im zweiten Bruch ist eigentlich dieser Riesenbruch hoch zwei !
Siehe mein Posting.

Xalooz aktiv_icon

21:35 Uhr, 04.12.2012

Bitte anders mit arctan rechnen, ich verstehe es nicht so

; (

Wie kommt man auf

{tan}^{2} (x) + 1

anonymous

21:49 Uhr, 04.12.2012

f (x) =

atan

(\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)})

Substitution

u (x) = \frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)}

f(x)=atan

(u (x))

f' (x) = \frac{1}{1 + {(u (x))}^{2}} \cdot {(\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)})}^{'} = (\frac{{(\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)})}^{'}}{(1 + {(u (x))}^{2})}) =

= (\frac{{(\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)})}^{'}}{1 + {(\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)})}^{2}})

Soweit alles klar ?

Xalooz aktiv_icon

21:57 Uhr, 04.12.2012

Ja, super, die Schritte sind nachvollziehbar.

Muss man jetzt nicht noch den Zähler ableiten

anonymous

22:03 Uhr, 04.12.2012

Ja, versuchs mal selber.

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22:15 Uhr, 04.12.2012

20 : 50

habe ich es versucht. Stimmt das?

anonymous

22:19 Uhr, 04.12.2012

Ich habe

\frac{- 2}{{(sin (x) - cos (x))}^{2}}

Xalooz aktiv_icon

22:22 Uhr, 04.12.2012

Hmmm, ok, danke! Auf dich ist verlass.

anonymous

22:25 Uhr, 04.12.2012

Und jetzt der Nenner !

Xalooz aktiv_icon

22:27 Uhr, 04.12.2012

War der Nenner nicht schon abgeleitet

anonymous

22:30 Uhr, 04.12.2012

\frac{{(\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)})}^{'}}{1 + {(\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)})}^{2}}

Den Zählen dieses Riesenbruches haben wir gerade bearbeitet, es fehlt noch unten das

1 + {()}^{2}

Xalooz aktiv_icon

22:35 Uhr, 04.12.2012

- 2 (\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)}) \cdot (\frac{2}{{(sin (x) - cos (x))}^{2}})

anonymous

22:36 Uhr, 04.12.2012

Nein, leider.
Es geht um

1 + {(\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)})}^{2}

das muss noch vereinfacht werden.

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22:38 Uhr, 04.12.2012

Wie vereinfachen?

1 ist eine Konstante und fällt weg und dann normal die Kettenregel anwenden?

anonymous

22:39 Uhr, 04.12.2012

Der nenner wird nicht differenziert, er wird nur - so wie da steht - ausgerechnet.

anonymous

22:42 Uhr, 04.12.2012

So hat unsere Ableitung ausgesehen:

f' (x) = \frac{{(\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)})}^{'}}{1 + {(\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)})}^{2}}

Für den oberen Teil haben wir erhalten ( das war eine Ableitung )

\frac{- 2}{{(sin (x) - cos (x))}^{2}}

Der untere Teil ist KEINE Ableitung und muss nur umgeformt werden.

Xalooz aktiv_icon

22:46 Uhr, 04.12.2012

Ja hab mich schon gewundert.

Wenn ich mich nicht verrechnet habe:

\frac{2}{{(sin (x) - cos (x))}^{2}}

anonymous

22:49 Uhr, 04.12.2012

Korrekt, und wenn wir jetzt zusammenfassen

. .

f' (x) = \frac{\frac{- 2}{{(sin (x) - cos (x))}^{2}}}{\frac{+ 2}{{(sin (x) - cos (x))}^{2}}} = ... ...

Xalooz aktiv_icon

22:53 Uhr, 04.12.2012

Also,

f´(x)=

- \frac{{(sin (x) - cos (x))}^{2}}{{(sin (x) - cos (x))}^{2}} = - 1

anonymous

23:00 Uhr, 04.12.2012

In Medizinerkreisen würde man jetzt von einer nicht ganz so leichten Geburt sprechen.
Anbei die - gewöhnungsbedürftige Grafik.
Hinweis

f (x) =

atan

(\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)})

Das

f' (x) = - 1 \Rightarrow

Das Integral müsste wieder die Originalfunktion ergeben. Geht hier aus naheliegenden Gründen nicht
ABER

\int (- 1) d x = - x + C

d . h

. duch geschicktes Umformen hätte ich die Originalfunktion auf diese Form bringen können. Dazu muss ich aber alles aus den Winkelfunktionen herausholen.

anonymous

23:02 Uhr, 04.12.2012

Zum Nachschmöckern.
http//de.wikipedia.org/wiki/Additionstheoreme_%28Trigonometrie%29#Gegenseitige_Darstellung

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23:09 Uhr, 04.12.2012

Ok, danke. Ich gehe jetzt einfach mal davon aus, dass das Ergebnis gestimmt hat

anonymous

23:11 Uhr, 04.12.2012

Es gibt im Netzt einige Überprüfungsmöglichkeiten

z . B

.
http//www.ableitungsrechner.net/#expr=arctan%28%28sin%28x%29%2Bcos%28x%29%29%2F%28sin%28x%29-cos%28x%29%29%29

anonymous

09:11 Uhr, 05.12.2012

Bei trigonometrischen Funktionen gibt es eine Fülle von Umwandlungen. Wenn der eine Weg kompliziert oder eigenartig erscheint, so sucht man sich eben einen anderen.
Anbei ein anderer Weg um das Ergebnis zu verifizieren.

f (x) =

arctan

(\frac{sin (x) + cos (x)}{sin (x) - cos (x)})

Ich dividiere Zähler und Nenner des Bruches durch

cos (x)

und erhalte:

f (x) =

arctan

(\frac{tan (x) + 1}{tan (x) - 1})

Der Bruch ist also etwas kompakter geworden.
Beim Differenzieren gehe ich wie bei der vorhergehenden Methode vor und berücksichtige, dass

{(tan (x))}^{'} = 1 + {tan}^{2} (x)

ist.

f' (x) = \frac{\frac{(tan (x) - 1) \cdot (1 + {tan}^{2} (x)) - (tan (x) + 1) \cdot (1 + {tan}^{2} (x))}{{(tan (x) - 1)}^{2}}}{1 + {(\frac{tan (x) + 1}{tan (x) - 1})}^{2}} =

= \frac{\frac{(- 2) \cdot (1 + {tan}^{2} (x))}{{(tan (x) - 1)}^{2}}}{\frac{(+ 2) \cdot (1 + {tan}^{2} (x))}{{(tan (x) - 1)}^{2}}}

= \frac{(- 2) \cdot (1 + {tan}^{2} (x))}{(+ 2) \cdot (1 + {tan}^{2} (x))} = - 1

q . e . d

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