Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Bedeutung der Symbole dy/dx

Bedeutung der Symbole dy/dx

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung, Differentiation, Notation

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
MichaelHaag

MichaelHaag aktiv_icon

19:38 Uhr, 08.12.2022

Antworten
Hallo liebe Mitglieder des Matheforums,
Heute geht es mir um eine Frage, die viele von euch wahrscheinlich dazu bringt, die Augen zu verdrehen, doch ich habe sie bereits recherchiert und bin auf keine zufriedenstellende Antwort gestoßen, weswegen ich mir hier Erleuchtung erhoffe.

Gegeben sei beispielsweise die Funktion f(x)= x² (bzw. y= x²). Meine Frage betrifft nun die Notation für die Ableitung dieser Funktion.
Einerseits kann man natürlich einfach f'(x)=2x schreiben, häufig liest man aber auch dydx=2x
-ddx betrachte ich einfach als Operator und somit ungesättigten Ausdruck, der eine Funktion benötigt).
Ich interpretiere den Ausdruck dydx intuitiv folgendermaßen: dy beschreibt die Veränderung im Funktionswert y für eine "sehr sehr kleine" (ja, BELIEBIG kleine) Veränderung im Inputwert, und diese Veränderung im Inputwert bezeichnet dx. In unserem Beispiel:
f(1)=1
f(1.1)=1.21(dx ist somit 0.1)
1.21-1=0.21(dy ist somit 0.21)
dydx ist somit in diesem Fall 0.210.1=2.1

Formal sauber lässt sich dydx natürlich bekanntermaßen einfach folgendermaßen definieren:
(a)limh0:f(x+h)-f(x)h=dydx, wobei limh0 den Gedanken ausdrückt, dass dx beliebig klein sein kann.

Nun zu meiner eigentlichen Frage: Wenn dydx einfach für (a) steht, dann finde ich es doch sehr befremdlich, dass man häufig dydx algebraisch manipuliert als sei es ein ganz normaler Bruch (häufig hört man zum Beispiel, dass dydxdx=dy). Nach meiner intuitiven Auffassung macht das natürlich Sinn, weil dy und dx einfach sehr kleine Zahlen und der Bruch einfach ihr Verhältnis ausdrückt, doch gegeben (a) definiert "die Bedeutung" des Symboles dydx komme ich da ins Straucheln. Um ein anderes Beispiel anzuführen: In einem Kurs ging es um die Substitutionsregel (die Details sind nicht relevant). Dann hieß es wir substituieren x²+1 mit u (also u=x²+1). Dann wurde daraus plötzlich du =2xdx(2x da (x²+1)' =2x) und dann hieß es, man müsste jetzt nur noch durch 2x teilen, um dx zu isolieren (du/2x =dx). Insbesondere das letzte Beispiel macht mich sprachlos und lässt mich verständnislos zurück.

Entschuldigt die Formatierung und die etwas vage Fragestellung, aber kann mir bitte jemand erklären, wofür genau nun dydx steht, die intuitive oder die formale Auffassung, und inwiefern algebraische Manipulationen dieser (oder ähnlicher Symbole) erlaubt sind.
VieleDank,
Euer Michael

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
Kartoffelchipsman

Kartoffelchipsman aktiv_icon

20:36 Uhr, 08.12.2022

Antworten
Für mich sind sie spirituell, die Differentiale,
und spirituell bedeutet soviel wie unerfindlich.
Es ist eine Notation - Leibniz hielt sie für
sinnvoll und hilfreich und viele stimmen ihm zu, fertig.
Man kann mit ihnen rechnen, aber unter Vorbehalt.
Die Bedeutung hast Du ja verstanden, die als
betragsmäßig unendlich kleinem Dividend bzw. Divisor,
deren Quotient aber reell ist.
Durch den wohldefinierten Quotienten
(die Ableitung dydx=f'(x)) besteht also eine Beziehung,
die ein gewisses Rechnen legitimiert.
Deine Rechnungen da sind aber falsch,
denn dy ist eben genau nicht z.B. Dein f(1,1)-f(1),
wie dann auch dx nicht 0,1.
dx und dy sind keine reellen Zahlen, sondern Infinitesimalzahlen,
siehe de.m.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalzahl .
Einen anderen haptischen Zugang bietet das Riemann Integral.
Bei f(x)dx ist das dx halt das Relikt der Breite
der Streifen, die bei den in das Integral übergehenden
Treppenfunktionen aufsummiert werden
(und keineswegs bedeutungslos,
wie man mir doch tatsächlich in der Schule zu erzählen wagte).

Antwort
calc007

calc007

23:32 Uhr, 08.12.2022

Antworten
Hallo
Wenn ich ergänzen darf:
a)
Die Ableitung "y' " zu nennen ist ein wenig Schülerniveau, und eben am ehesten geeignet, wenn klar ist, nach welcher Variablen abgeleitet wird.
Die Bezeichnung dydx erklärt eben auch, nach welcher Variablen abgeleitet wird.
Stell dir vor, du hättest die Gleichung
RT=pv
und sprächst von ihrer Ableitung - kein Mensch könnte hieraus wissen,
> ob du nach T
> ob du nach p
> ob du nach v
> oder vielleicht nach der Zeit t
ableiten wolltest.
Die Bezeichnung (z.B.) dT/dp dagegen lässt eindeutig erkennen, wie du die Ableitung zu tätigen hättest.

b)
Bruchrechnung
Es ist tatsächlich so, dass man in vielen Fällen mit Differenzialen rechnen, zB. dividieren oder multiplizieren kann.
Wenn du weißt, dass die Geschwindigkeit
v= ds/dt
ist, dann kannst du tatsächlich mit dt durchmultiplizieren
vdt= ds
weiters auf beiden Seiten Integrieren:
vdt= ds =s
und erhältst sehr sinnvoll allgemeingültige Gleichungen, Relationen und Zusammenhänge.
Wenn du mal mit Differenzialgleichungen zu tun bekommst, dann wirst du sehen und lernen, dass das sehr alltäglich wird.

c)
Dein Beispiel
Substitution mit: u=x2+1
Wenn du die Ableitung von u nach der Variablen x bildest, also sicherlich
u'= du/dx =2x
sieh an, dann brauchst du die Gleichung nur mit dx durchmultiplizieren, schon steht da:
du =2xdx
Weil dem so ist, sprechen die Fachleute eben gleich von 'Differenzialen' und errechnen das
du =2xdx
routiniert, auch ganz ohne unbedingt die erste Zeile oder 'Ableitung' vor Augen zu führen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.