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Dichtefunktion bilden (einfache Ableitung) arctan

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Verteilungsfunktionen

Tags: Ableitung, arctan, Dichtefunktion, Verteilungsfunktion

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maaliane

maaliane aktiv_icon

09:44 Uhr, 12.03.2010

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Hallo,

ich muss die Dichtefunktion folgender Verteilungsfunktion bilden. Ist ja im Prinzip einfach nur die Ableitung. Nichtsdestotrotz bräuchte ich nochmal eine Erklärung dazu, warum das ganze so ist, wie es ist ;)

Verteilungsfunktion: $F_{X} (t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{π} \arctan t$

folgendermaßen ist dann die zugehörige Dichtefunktion:

$\frac{d F (t)}{d t} |_{t = x} = f_{X} (x) = \frac{1}{π (1 + x^{2})}$

Wie kommt man auf die 1:pi ? Ist das die äußere Ableitung? Kann man das vergleichen mit (2x)'=2?? Da fällt das x ja auch einfach so weg??

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Antwort

johannes2010

johannes2010 aktiv_icon

10:17 Uhr, 12.03.2010

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Hi,

Also deine Funktion hat einen konstanten Anteil, der beim Ableiten weg fällt.

Der zweite Anteil:

\frac{d}{d t} arctan (t) = \frac{1}{(1 + t^{2})}

Bei dir wird dieser Ausdruck mit

\frac{1}{π}

multipliziert!

\frac{1}{π} \frac{1}{(1 + t^{2})} = \frac{1}{π (1 + t^{2})}

maaliane

maaliane aktiv_icon

10:55 Uhr, 12.03.2010

Antworten

Meinst du mit dem konstanten Teil 1/2?

Und warum multipliziere ich die Ableitung mit 1/pi ?

Antwort

ahmedhos

ahmedhos aktiv_icon

11:05 Uhr, 12.03.2010

Antworten

c

ist konstant koennte auch

c = \frac{1}{π}

sein

\frac{d}{d x} c \cdot a r c t a n (x) = c \cdot \frac{d}{d x} a r c t a n (x) = c \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}

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http//www.frustfrei-lernen.de/mathematik/tan-x-ableitung.html

tan' (x) = \frac{d}{d x} tan (x) = \frac{1}{{cos}^{2} (x)}

\Rightarrow tan' (a r c t a n (x)) = \frac{d}{d x} tan (a r c t a n (x)) = \frac{1}{{cos}^{2} (a r c tan (x))}

http//de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

\frac{d}{d x} a r c t a n (x) = \frac{1}{tan' (a r c t a n (x))} = \frac{1}{\frac{1}{{cos}^{2} (a r c tan (x))}} = {cos}^{2} (a r c tan (x))

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) = 1

{sin}^{2} (x) = 1 - {cos}^{2} (x)

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} = \frac{1 - {cos}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)}

{tan}^{2} (x) = \frac{1 - {cos}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)}

{tan}^{2} (x) \cdot {cos}^{2} (x) = 1 - {cos}^{2} (x)

{tan}^{2} (x) \cdot {cos}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) = 1

{cos}^{2} (x) \cdot ({tan}^{2} (x) + 1) = 1

{cos}^{2} (x) = \frac{1}{1 + {tan}^{2} (x)}

\Rightarrow tan' (a r c t a n (x)) = \frac{d}{d x} tan (a r c t a n (x)) = {cos}^{2} (a r c tan (x)) = \frac{1}{1 + {tan}^{2} (a r c tan (x))} = \frac{1}{1 + x^{2}}

Antwort

johannes2010

johannes2010 aktiv_icon

11:08 Uhr, 12.03.2010

Antworten

Ausführlich:

f = \frac{1}{2} + \frac{1}{π} arctan (t)

f ʹ = \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} + \frac{1}{π} arctan (t))

f ʹ = \frac{d}{d t} \frac{1}{2} + \frac{d}{d t} (\frac{1}{π} arctan (t))

f ʹ = \frac{d}{d t} \frac{1}{2} + \frac{1}{π} \frac{d}{d t} arctan (t)

f ʹ = 0 + \frac{1}{π} \frac{1}{(1 + t^{2})}

f ʹ = 0 + \frac{1}{π (1 + t^{2})} = \frac{1}{π (1 + t^{2})}

N.R.: :-)

\frac{d}{d t} arctan (t) = \frac{1}{(1 + t^{2})}

Frage beantwortet

maaliane

maaliane aktiv_icon

11:11 Uhr, 12.03.2010

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danke ;) kapiert

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