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Die Ableitungsfunktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung

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16:16 Uhr, 21.11.2010

also ich hänge mal wieder an meinen Hausaufgaben....

Aufgabe:

$f (x) = \frac{1}{4} x² - 2$

a) Bestimmen Sie den Punkt, in dem der Graph von f die Steigung 3 hat.

b) An welcher Stelle $x_{0}$ gilt f ' (x)= -8?

c) Geben Sie ein Intervall I an, in dem die Ableitung von f größer 1 ist.

So da wir gerade die Ableitungsgesetze gemacht haben, dachte ich:

f ' (x) = $\frac{2}{4}$ x =0,5x

f '' (x) = 0,5

f ''' (x) = 0

so und jetzt weiß ich aber nicht wie mir diese Ableitungen weiterhelfen können...

danke im vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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16:21 Uhr, 21.11.2010

f' (x) = 0,5 x

beschreibt die Steigung von

f (x)

. Über

f' (x) = 3 \Leftrightarrow 0,5 x = 3

suchst du nun die Stelle, an der die Steigung 3 beträgt.

Gruß Shipwater

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16:25 Uhr, 21.11.2010

hmm versteh ich grad nicht...

also wenn f'(x) = 0,5x die Steigung ist, okey, aber dann ist die steigung doch immer 0,5 und wie soll ich dann zeigen das die Funktion f die Steigung 3 hat?

also vll steht grad die antwort vor meiner Nase doch ich sehe sie nicht...

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16:28 Uhr, 21.11.2010

An der Stelle

x_{0} = 1

ist die Steigung von

f (x)

dann

f' (1) = 0,5 \cdot 1 = 0,5

An der Stelle

x_{0} = 2

ist die Steigung von

f (x)

dann

f' (2) = 0,5 \cdot 2 = 1

Die Steigung ist also nicht immer

0,5

und kann durchaus 3 sein! Um zu wissen wo, musst du eben

0,5 x = 3

lösen.

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16:33 Uhr, 21.11.2010

hmm das heißt doch dann aber,

f' (6) = 0,5 \cdot 6 = 3

hmm und okey jetzt habe ich 3 raus.... und weiter?
jetzt habe ich gezeigt das die Funktion

f

die Steigung 3 hat oder wie?

aber

f' (x) = 0,5 x

ist doch eine lineare Funktion,

f (x) =

mx+b, das heißt es einfach eine gerade diese Funktion oder nicht? und wie kann diese dann ihre Steigung ändern?

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16:39 Uhr, 21.11.2010

Bei einer Geraden ist die Steigung konstant, da hast du Recht. Hier ist die Gleichung der Geraden aber die Ableitung der Funktion

f (x)

. Die Steigung von

f (x)

muss also nicht konstant sein. Erst die zweite Ableitung (die die Steigung von

f' (x) = 0,5 x

beschreibt) ist dann konstant. Diese ist, wie du schon berechnet hast,

f'' (x) = 0,5

. Das darfst du nicht durcheinander werfen. Und du hast jetzt eben gezeigt, dass

f (x)

an der Stelle

x_{0} = 6

die Steigung

m = 3

hat. Da nach dem Punkt gefragt ist, berechnest du noch

f (6) = \frac{1}{4} \cdot 6^{2} - 2 = \frac{1}{4} \cdot 36 - 2 = 9 - 2 = 7

und die Lösung lautet dann

P (6 | 7)

. Damit ist Aufgabenteil

a)

erledigt.

Gruß Shipwater

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16:56 Uhr, 21.11.2010

okey, jetzt habe ich schonmal einigermaßen einen durchblick^^
thx

zur b)
da muss ich doch auch mit der f'(x)= 0,5x = -8 zeigen oder?
also für $x_{0}$ so lange Zahlen einsetzen bis -8 rauskommt oder? und dann die Zahl in die Funktion (x) einsetzen die gegeben ist und das wars??? falls nein, gib mir bitte nur einen Tipp^^ ich will selber draufkommen xD

und die Stelle ist doch dann :

P(-16/62)

oder nicht??

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17:26 Uhr, 21.11.2010

hallo?

kann mir keiner sagen ob ich richtig denke oder nicht?

und die

c)

versteh ich ja mal gar nicht, was für einen Intervall?

also danke im vorraus falls mal einer wieder antwortet.....

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17:28 Uhr, 21.11.2010

Du brauchst doch nicht zu raten.

0,5 x_{0} = - 8 \Leftrightarrow x_{0} = - \frac{8}{0,5} \Leftrightarrow x_{0} = - 16

Da hier nur nach der Stelle gefragt ist, brauchst du die y-Koordinate gar nicht bestimmen.

Und bei der

c)

musst du die Ungleichung

0,5 x > 1

lösen.

Gruß Shipwater

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17:38 Uhr, 21.11.2010

also komtm bei der

c) x > 0,2

raus,

und was bedeutet dies jetzt genau? das alle Zahlen die über

0,2

sind, in diesen Intervall I gehören oder wie?

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17:49 Uhr, 21.11.2010

Ich erhalte

x > 2

also das Intervall

J =] 2; \infty [

Und an jeder Stelle dieses Intervalls ist die Steigung nun

> 1

.

Gruß Shipwater

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17:57 Uhr, 21.11.2010

ja stimmt kommt

x > 2

raus habe mich verrechnet xD
so ja also jetzt kann ich jede Zahl einsetzen die größer ist als 2 und meine Steigung ist immer größer als 1?

und noch eine Frage, was genau rechnet man mit einer Unglichung aus?, komme von real und deswegen sind vll meine Frgaen so blöd... aber ich hatte halt das ganze nicht

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18:00 Uhr, 21.11.2010

Hier geht es ähnlich wie bei Gleichungen:

0,5 x > 1 \Leftrightarrow x > \frac{1}{0,5} \Leftrightarrow x > 2

Dann gibt es aber noch viele Sachen die man beachten muss. Zum Beispiel dreht sich das Relationszeichen bei Multiplikation/Division mit einer negativen Zahl um. Aber das kannst du jetzt nicht alles so schnell erlernen. Frag am besten mal deinen Lehrer wie weit du Ungleichungen (mit Fallunterscheidungen?) beherrschen solltest.

Gruß Shipwater

Edit: Ups habe die Frage falsch verstanden. Mit der Ungleichung

0,5 x > 1

berechnest du alle

x

für die

0,5 x

größer als 1 ist.

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18:06 Uhr, 21.11.2010

ja ich weiß, wenn man jetzt

z . b

| : (- 0,5)

rechnen müsste würde

x < 2

rauskommen, das habe ich mir schon gemerkt als ich Ungleichungen gegooglet habe, habe mich dann aber irgendwie im Tachsenrechner oder so vertippt das dann

0,2

rauskamen, dachte müsste ja richtig sein wenn der es sagt... aber stimmt schon komm 2 raus

aber was genau rechnet man jetzt mit Ungleichungen aus? nur solche Intervalle? und diese Klammern die Sie gemacht haben, die "

]

[" heißt doch das es ein geschlossener Intervall ist oder nicht?

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18:11 Uhr, 21.11.2010

Ich habe oben noch ein Edit eingefügt. Und nein

J =] 2; \infty [

ist ein offenes Intervall. Neuerdings schreibt man auch

J = (2; \infty)

dafür.
http//de.wikipedia.org/wiki/Intervall_%28Mathematik%29

Gruß Shipwater

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15:37 Uhr, 28.11.2010

also ich habe eine neue Aufgabe die ich nicht verstehe, und hoffe das ihr mir hier wieder helfen könnt,

Aufgabe:

Für welche $t ϵ R$ hat der Graph von $f_{t}$ in denSchnittpunkten mit der x-Achse Tangenten, die zueinander orthogonal sind?

a) $f_{t} (x) = t \times (x² - 5 x + 4)$

Ableitungen:

f(x)= tx²-5tx+4t

f ' (x)= 2x-5+4

f ''(x)= 2

f ''' (x) = 0

So jetzt müsste man doch irgendwie die nullstellen herausfinden oder??? aber wie????

oder wie muss ich jetzt weitervorgehen???

danke im vorraus

Stanix93 aktiv_icon

15:58 Uhr, 28.11.2010

kann mir keiner helfen????

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16:03 Uhr, 28.11.2010

Was soll denn das Gedrängel?

Erstmal hast du falsch abgeleitet. Nach der Faktorregel bleiben konstante Faktoren beim Ableiten einfach erhalten.

f (x) = c \cdot g (x) \Rightarrow f' (x) = c \cdot g' (x)

Und für die Nullstellen musst du so vorgehen:

t \cdot (x^{2} - 5 x + 4) = 0

wenn

x^{2} - 5 x + 4 = 0

oder

t = 0

Den Fall

t = 0

kann man aber vernachlässigen, da die Funktion dann einfach die x-Achse wäre. Also löse

x^{2} - 5 x + 4 = 0

mit der pq-Formel, der quadratischen Ergänzung, dem Satz von Vieta oder sonst einem Verfahren deiner Wahl.

Gruß Shipwater

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16:16 Uhr, 28.11.2010

hmm versteh ich jetzt aber nicht ganz....

nehmen wir an f(x)= 3tx+2x³

dann ist die ableitung doch:

f '(x)= 3+6x²

oder nicht???

weil ja $x^{1 - 1} = x^{0} = 1$

und dann steht doch da: 3*1*1 = 3 oder nicht????

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16:19 Uhr, 28.11.2010

f_{t} (x) = 3 t x \Rightarrow f_{t}' (x) = 3 t

Die

t

bleiben als konstanter Faktor, genauso wie die

3,

einfach erhalten. Behandle das

t

wie eine konstante Zahl.

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16:21 Uhr, 28.11.2010

hmm okey aber was wäre dann die 2te ableitung???
immer noch 3t???? oder 3??? oder 0?????

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16:22 Uhr, 28.11.2010

Na 0 weil ein konstanter Summand beim Ableiten wegfällt.

Gruß Shipwater

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16:50 Uhr, 28.11.2010

also ich habe jetzt mal ausgerechnet:

f' (x) =

tx-5t oder???

und als nullstellen habe ich

x 1 =

4und

x 2 = 1

soooo, und weiter ich weiß grad echt mal nicht weiter.....

und eine frage habe ich auch noch, darf man eingentlich einfach das

t

in der vorgegebenen Gelichung einfach wegstreichen?? ich meine, ich habe auch gesehen das man die pq-formel einsetzen kann, aber das

t

hat mich verunsichert....

also danke schon mal^^

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17:08 Uhr, 28.11.2010

f_{t} (x) = t \cdot (x^{2} - 5 x + 4)

f_{t}' (x) = t \cdot (2 x - 5) = 2 t x - 5 t

Die Nullstellen

x_{1} = 1

und

x_{2} = 4

sind richtig. Berechne jetzt die Steigung der Tangenten in den Schnittpunkten mit der x-Achse, also

f_{t}' (1)

und

f_{t}' (4)

. Diese Tangenten sind genau dann orthogonal, wenn für das Produkt ihrer Steigungen

f_{t}' (1) \cdot f_{t}' (4) = - 1

gilt. Letztere Gleichung musst du dann lösen.

Und warum man das

t

hier bei der Nullstellensuche getrost ignorieren kann, habe ich weiter oben schon erklärt. Für

t = 0

wäre die Funktion einfach die x-Achse. Damit gäbe es unabzählbar viele Nullstellen und die Aufgabe wäre sinnlos.

Gruß Shipwater

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17:28 Uhr, 28.11.2010

hmm ja okey, aber eine frage habe ich immer noch

$f_{t}' (x) = 2 t x - 5 t f_{t}' (1) = 2 t - 5 t f_{t}' (4) = 8 t - 5 t$

dann habe ich $f_{t}$ (1) und (4) gleich gesetzt, also

2t-5t=8t-5t

dann kam bei mir 0=4 raus oO

ich galueb ich habe was falsch gemacht^^

ich glaube ich muss die $f$ '(x)= $\frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ machen oder????

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17:32 Uhr, 28.11.2010

f_{t}' (1) = 2 t - 5 t = - 3 t

und

f_{t}' (4) = 8 t - 5 t = 3 t

Und warum setzt du diese nun gleich? Die Tangenten sollen doch nicht parallel, sondern orthogonal sein. Wie oben schon erwähnt, muss dafür das Produkt der Steigungen

- 1

ergeben, folglich:

- 3 t \cdot 3 t = - 1

Diese Gleichung musst du jetzt nach

t

auflösen.
Die letzte Frage verstehe ich nicht und korrekt muss es eh so lauten:

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

Gruß Shipwater

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17:38 Uhr, 28.11.2010

okey ich habe meinen Fehler gefunden...
ich probiers nochmal

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17:54 Uhr, 28.11.2010

okey

jetzt habe ich das Ergebniss:

- 3 t \cdot 3 t = - 1

-9t²=-1
9t²=1

3 t = 1

t = \frac{1}{3}

sooo, ist jetzt die aufgabe gelöst??? und was genau habe ich da gerade gemacht?? wieso muss denn überhaupt

f' (1) \cdot f' (4) = - 1

ergeben???
und mein Lehrer meinte es würde noch

t = - \frac{1}{3}

rauskommen, aber wieso???? oder wie kommt man darauf???

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17:58 Uhr, 28.11.2010

9 t^{2} = 1

dann

3 t = 1 \Leftrightarrow t_{1} = \frac{1}{3}

oder

3 t = - 1 \Leftrightarrow t_{2} = - \frac{1}{3}

Du musst immer die

\pm

Wurzel ziehen, denn

1^{2} = {(- 1)}^{2} = 1

Was du da berechnet hast steht im Aufgabentext. Und dass zwei Geraden dann orthogonal sind, wenn für das Produkt ihrer Steigungen

m_{1} \cdot m_{2} = - 1

gilt, lernt man eigentlich schon vor der Differentialrechnung. Schau in deinen alten Heften/Büchern nach.

\Rightarrow

de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalit%C3%A4t#Analytische_Geometrie

Gruß Shipwater

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18:08 Uhr, 28.11.2010

achsoo ja stimmt, jaja das hatten wir, ist mir aber aus dem Kopf geflogen^^
so habe mich grad an

b)

gesetzt aber komme bei den Nullstellen nicht weiter,

Aufgabe:

f (x) =

x²-4tx+3t²

ich habe an eine Polynom Division gedacht, aber kann keinen Anfangspunkt finden...
könntest du mir einen Tipp geben?

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18:16 Uhr, 28.11.2010

pq-Formel? Was soll denn rauskommen laut Lehrer? Dann kann ich mal schauen ob ich dorthin gelange.

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18:17 Uhr, 28.11.2010

er hat uns nur die

a)

aufgegebn, und ich wollte jetzt noch die

b)

machen^^
wie soll es denn mit der pq-formel gehen???

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18:19 Uhr, 28.11.2010

So wie immer.

p = - 4 t

und

q = 3 t^{2}

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18:21 Uhr, 28.11.2010

ne eigentlich ja nicht.... weil man ja nur px braucht aber da steht ja 4tx wass soll mann denn da nehmen??? oder bei der letzten das das

q

ist, ist ja 3t² wie soll man es denn einsetzen????

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18:28 Uhr, 28.11.2010

Ich habe es doch schon geschrieben. Und ich bin jetzt erstmal essen...

Stanix93 aktiv_icon

18:28 Uhr, 28.11.2010

$\frac{4 t}{2} + \sqrt{4 t - 3 t²}$

das kommt jetzt bei mir raus....

und wie soll ich damit rechnen???

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18:35 Uhr, 28.11.2010

Berechne erstmal

- \frac{p}{2} = - \frac{- 4 t}{2} = 2 t

. Damit ergibt sich:

x_{1,2} = 2 t \pm \sqrt{{(2 t)}^{2} - 3 t^{2}} = 2 t \pm \sqrt{4 t^{2} - 3 t^{2}} = 2 t \pm \sqrt{t^{2}} = . .

.
Du kommst jetzt hoffentlich weiter, oder?

Gruß Shipwater

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18:38 Uhr, 28.11.2010

also ich habe jetzt x1= 2,26t und x2= $- \sqrt{3} \times t$

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18:55 Uhr, 28.11.2010

Und wie kommst du darauf..?

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19:04 Uhr, 28.11.2010

ich habe einen Fehler gemacht xD
ich habe unter der wurzel 4t²-3t² nicht gerechnet....
also jetzt habe ich raus:

x 1 = 3 t

und

x 2 = t

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19:10 Uhr, 28.11.2010

Richtig.

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19:11 Uhr, 28.11.2010

und

t

ist dann

t = - \frac{1}{2}

oder nicht?
doch oder?

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19:17 Uhr, 28.11.2010

Ich erhalte

t_{1,2} = \pm \frac{1}{2}

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19:28 Uhr, 28.11.2010

??? wie denn das?? bei kommt nur

- \frac{1}{2}

raus.....

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19:32 Uhr, 28.11.2010

Wie soll ich dir das beantworten, wenn du mir deinen Rechenweg nicht zeigst?

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20:44 Uhr, 28.11.2010

ich habe falsch gerechnet deswegen kam bei nur

- \frac{1}{2}

raus....
aber wie kommt man denn auf 1/2???
weil eigentlich steht doch da

3 t \cdot t = - 1

oder nicht???
dann 3t²=-1

t²=-1/3

dann die wurzel aber das geht ja nicht, weil ich eine negative zahl habe....

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20:46 Uhr, 28.11.2010

Du musst erst die Steigungen an den Schnittpunkten mit der x-Achse bestimmen und dann muss gelten

f_{t}' (t) \cdot f_{t}' (3 t) = - 1

Gruß Shipwater

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20:53 Uhr, 28.11.2010

dann kommt bei mir

0 = - 1

raus

(-t²-4t²+3t²)*(9t²-12t²+3t²)=-1

0 = - 1

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21:28 Uhr, 28.11.2010

f_{t} (x) = x^{2} - 4 t x + 3 t^{2}

f_{t}' (x) = 2 x - 4 t

f_{t}' (t) = 2 t - 4 t = - 2 t

f_{t}' (3 t) = 2 \cdot 3 t - 4 t = 6 t - 4 t = 2 t

Gruß Shipwater

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