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Die praktische Anwendung der Ableitung Aufgaben

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Tangent

Mike345 aktiv_icon

22:43 Uhr, 26.11.2009

Hallo an alle,

ich habe als Vorbereitung für eine Prüfung

21

Aufgaben zu lösen. Das Gute zuerst: ich habe

18

geschafft. Bei den restlichen 3 komme ich überhaupt nicht weiter und bitte euch um Hilfe.

1)

A =

s(1-exp(-0.231t)),

t

grösser/gleich

0,

(t

ist Anzahl der Stunden nach dem Anfang der Reaktion)

(s

ist die anfängliche Zuckerkonzentration in

%)

(A

ist der produzierte Alkohol)

Finde die Geschwindigkeit der Reaktion wenn

t = 5

(Stunden) und

s = 10

Mein Lösungsvorschlag: Um die Geschw. zu ermitteln braucht man

\frac{d y}{d x} (1

. Ableitung)
Leider geht es bei mir nicht auf. Lösung sollte sein

= 0.728

Einheiten Alkohol/Stunde

2)

Eine kleine Bienenpopulation wird beobachtet. Nach

t

Wochen kann man die Population wie folgt berechnen:

P (t) =

50000/(1+1000*exp(-0.5*t)),

t

liegt zwischen 0 und

25

. (also 0 und

25

inkl.)

Finde heraus, wann die Bienenpopulation am schnellsten wächst.

Mein Lösungsvorschlag: 2 Ableitung finden und gleich 0 setzen,

t

ermitteln.
Lösung sollte sein nach

13.8

Wochen. Leider komme ich nicht auf diese Zahl.

3) f (t) =

a*t*exp(b*t^2) hat einen maximalen Wert von 1 wenn

t = 2

.
Finde die Konstanten a und

b .

Mein Lösungsvorschlag:
1. Gleichung

1 =

2*a*exp(4*b)
2. Gleichung

\frac{d y}{d x} = 0

also exp(b*t^2)*(a+2*a*b*t^2)

= 0

also

a + 2 \cdot a \cdot b \cdot t^{2} = 0

Doch auch hier komme ich nicht auf die Lösung.
Lösung sollte sein:

a =

(exp(0.5))/2,

b = - \frac{1}{8}

Ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir irgendwie weiterhelfen könntet. Bitte vor allem Lösungsweg angeben, damit es nachvollziehbar ist.

Vielen Dank im Vorraus

Mike

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

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f' (x)

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qzmufu aktiv_icon

23:36 Uhr, 26.11.2009

Passt alles. Mach's wie beschrieben. Ich komme auf die Ergebnisse.

Mike345 aktiv_icon

23:56 Uhr, 26.11.2009

Tschau gzmufu,

Danke für deine Antwort.

Könntest du mir bitte die 1. ableitung bei Nr1, die 2. ableitung bei Nr2 angeben. Wie hast du Nr. 3 gelöst?

Gruss Mike

qzmufu aktiv_icon

09:03 Uhr, 27.11.2009

A (t) = s (1 - e^{- 0,231} t)

A' (t) = s \cdot (- 0,231) \cdot (- e^{- 0,231 t}) = 2,31 \cdot e^{- 0,231 t}

A' (5) = 0.728

P (t) = \frac{50,000}{1 + 1.000 e^{- 0.5 t}}

. .

. ich mach das immer mit der Produktregel

. .

. sollte auch mit der Quotientenregel hinhauen...

P' (t) = 50.000 \cdot (- 500 e^{- 0,5 t}) \cdot (- 1) \cdot {(1 + 1.000 e^{- 0,5 t})}^{- 2}

= 25.000.000 \frac{e^{- 0,5 t}}{{(1 + 1.000 e^{- 0,5 t})}^{2}}

P'' (t) = 25.000.000 \cdot ((- 0,5 e^{- 0,5 t}) \cdot {(1 + 1.000 e^{- 0,5 t})}^{- 2} + e^{- 0,5 t} \cdot (- 500 e^{- 0.5 t}) \cdot (- 2) \cdot {(1 + 1.000 e^{- 0,5 t})}^{- 3})

= 25.000.000 \cdot (1.000 \frac{e^{- t}}{{(1 + 1.000 e^{- 0,5 t})}^{3}} - 0,5 \frac{e^{- 0,5 t}}{{(1 + 1.000 e^{- 0,5 t})}^{2}})

damit ist

0 = 1.000 e^{- t} - 0,5 e^{- 0,5 t} (1 + 1.000 e^{- 0,5 t})

= 1.000 e^{- t} - 0,5 e^{- 0,5 t} - 500 e^{- t}

1000 e^{- t} = e^{- 0,5 t}

ln (1000) - t = - 0,5 t

t = 2 \cdot ln (1000) = 13,81

qzmufu aktiv_icon

09:10 Uhr, 27.11.2009

Wie Du schon sagtest ist

a+2abt^2=0

also ist

b = - \frac{1}{2 t^{2}}

also bei

t = 2

ist

... = - \frac{1}{8}

1 = 2 a \cdot e^{4 b}

b

einsetzen und nach a auflösen...

a = \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{1}{2}}

qzmufu aktiv_icon

09:17 Uhr, 27.11.2009

btw. müsstest Du für ein Maximum auch noch beweisen dass

P' (t)

konkav ist. Ich würde das nicht über die dritte Ableitung machen. Da Du nur eine Nullstelle hast kannst du einfach für Beispielpunkte links und rechts des Maximums die Steigung (der Ableitung) berechnen und dann argumentieren dass wenn vorher die Steigung positiv und hinterher negativ ist

P' (13,82)

ein Maximum sein muss.

Mike345 aktiv_icon

14:42 Uhr, 28.11.2009

Danke für deine Hilfe

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