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Differentialquotient einer Wurzelfunktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung, Differentialquotient, Differentiation, Wurzelfunktion

Clenbuterol

16:00 Uhr, 01.07.2016

Hallo, ich kämpfe mit folgender Funktion, deren einseitige Ableitung ich an der Stelle

x_{0} = 2

über den einseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten berechnen möchte. Doch leider komme ich dabei nicht auf das gleiche Ergebnis wie mit der Kettenregel.

Im offenen Intervall

(2, \infty)

gilt die Ableitung

f (x) = \sqrt{2 x - 4} f ʹ (x) = \frac{2}{2 \sqrt{2 x - 4}} = \frac{1}{\sqrt{2 x - 4}}

.

Es ist klar, dass der Grenzwert (die Ableitung) an der Stelle

x_{0} = 2

nicht existiert. Dennoch müsste ja bei der Berechnung der Ableitung mit dem Differentialquotienten das Gleiche herauskommen. Dem ist aber leider nicht so.

Mit dem Differentialquotienten erhält man die Ableitung:

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

= lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x - 4} - f (2)}{x - 2}

= lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x - 4} - 0}{x - 2}

= lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x - 4}}{x - 2}

= lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2} \sqrt{x - 2}}{x - 2}

= lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x - 2}}

= lim_{x \to 2} \frac{2}{\sqrt{2 x - 4}}

\neq lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2 x - 4}}

Wo liegt mein Fehler?

Klar das Ergebnis ist das Gleiche. Der Nenner wird auch Null und deshalb existiert der Grenzwert nicht, aber die Ableitung ist nicht die gleiche.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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Roman-22

16:48 Uhr, 01.07.2016

>

Wo liegt mein Fehler?
Warum Fehler? Die Grenzwerte sind doch sehr wohl gleich!

Clenbuterol

17:13 Uhr, 01.07.2016

Ah, okay. Vielen Dank für die Antwort.
Das heißt also der "allgemeine" Differentialquotient für diese Funktion ist die Ableitungsfunktion die sich mit der Kettenregel ergibt:

lim_{x \to x_{0}} \frac{\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2 x_{0} - 4}}{x - x_{0}} = \frac{1}{\sqrt{2 x_{0} - 4}}

.
Für diese Ableitungsfunktion erhält man den gleichen Grenzwert für

x \to 2

(nämlich keinen - also

\infty

), wie für den Differentialquotienten

lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x - 4} - f (2)}{x - 2}

= lim_{x \to 2} \frac{2}{\sqrt{2 x_{0} - 4}}

.

Aber warum erhält man zwei verschiedene Ableitungsfunktionen?

Roman-22

18:06 Uhr, 01.07.2016

>

Aber warum erhält man zwei verschiedene Ableitungsfunktionen?
Genau das ist ja dein Denkfehler.
Du erhältst mit deiner Methode ja keine Ableitungsfunktion, sondern eben nur die Ableitung an der konkreten Stelle

x_{0} = 2

.
Du müsstest von Anfang an anstelle von 2 allgemein

x_{0}

schreiben, dann müsstest du die korrekte Ableitungsfunktion (allerdings ausgedrückt in

x_{0}, x

kommt dann nach dem Grenzübergang ja nicht mehr vor) erhalten.

R

Clenbuterol

18:23 Uhr, 01.07.2016

Jetzt hab ich es kapiert.
Super vielen Dank. Das hat mir sehr geholfen!

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