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Differentialrechnung: Gewinnoptimierung im Monopol

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Differentialrechnung, Gewinnoptimierung

JJanke aktiv_icon

17:14 Uhr, 29.05.2009

Aufgabe:

Gewinnoptimierung im Monopol: Die Nachfragefunktion für eine Hautcreme
sei

D (p) = 200

−

4 p,

wobei

p

der Preis ist. Die (Hersteller)Kosten

C (x)

ergeben sich folgendermaßen aus der Menge

x (\in

Litern): Fixkosten von 300€
je angebrochener Menge von

75

Litern plus Kosten von 1€ pro Liter,

d . h . :

C (x) =

300 + x

für 0 ≤

x

≤

75,

600 + x

für

75 < x

≤

150,

900 + x

für

150 < x

≤

200

.

Maximieren Sie den Gewinn

P (x) = D^{- 1} (x) x

−

C (x)

Lösungsanasatz:

D (p) = 200

−

4 p

D^{- 1} (p) = - (\frac{p}{4}) + 50

D^{- 1} (p) \cdot p = (- (\frac{p}{4}) + 50) \cdot p

\Rightarrow

D^{- 1} (p) \cdot p = - (\frac{p^{2}}{4}) + 50 p

Daraus folgt:

P' (x) = - (\frac{p^{2}}{4}) + 50 p - C' (x)

C' (x) = 1

P' (x) = - \frac{1}{2} p + 50 - 1

P' (x) = - \frac{1}{2} p + 49

Extrempunkte

P' (x) = 0

und

P'' (x) \neq 0

0 = - \frac{1}{2} p + 49

\Rightarrow

p = 98

Soweit bin ich nun gekommen:

In der Lösung zur Aufgabe steht folgendes:

"Maximaler Gewinn

1968.75

bei einem Preis von 31.25"

Frage:
Ist mein Ansatz bis jetzt richtig, und wenn ja, wie muss ich weiter vorgehen um auf das angegebene Ergebis zu kommen.
Wenn nein, wo liegt mein Fehler ?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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pleindespoir aktiv_icon

23:50 Uhr, 30.05.2009

Gewinnoptimierung im Monopol:
Die Nachfragefunktion für eine Hautcreme sei D(p)=200 − 4p, wobei p der Preis ist.
Die (Hersteller)Kosten C(x)ergeben sich folgendermaßen aus der Menge x(∈ Litern): Fixkosten von 300€ je angebrochener Menge von 75 Litern plus Kosten von 1€ pro Liter,

Ich gehe mal davon aus, dass D die Nachfragemenge in Litern ist und p der Preis pro Liter. Falls nicht, sind meine weiteren Ausführungen hinfällig.

Der Gewinn (den Du P(x)nennst) ergibt sich aus der
Nachfragemenge D multipliziert mit dem Literpreis p(Erlösfunktion)
abzüglich der Kosten C.

Was ist

D^{- 1}

???

Der Kehrwert, die Umkehrfunktion, die Ableitung?

.... und wenn das eine oder noch ganz andere, warum?

JJanke aktiv_icon

20:29 Uhr, 31.05.2009

Also folgendes war durch die Aufgabenstellung schon vorgegeben:

"Maximieren Sie den Gewinn

P (x) = D^{- 1} (x) x

− C(x)"

D^{- 1}

sollte meines Wissens nach, die Umkehrfunktion sein,
also im Grund der Preis in Abhängigkeit von der Nachfrage

pleindespoir aktiv_icon

22:10 Uhr, 31.05.2009

D (p) = 200 - 4 p

Umkehrfunktion dazu:

D (p) - 200 = - 4 p

p = D^{- 1} (x)

x = D (p)

x - 200 = - 4 D^{- 1} (x)

\frac{x - 200}{- 4} = D^{- 1} (x)

\frac{200 - x}{4} = D^{- 1} (x)

D^{- 1} (x) = 50 - \frac{x}{4}

Soweit zu

p = D^{- 1} (x)

Jetzt einsetzen in:

P (x) = D^{- 1} (x) \cdot x - C (x)

P (x) = (50 - \frac{x}{4}) \cdot x - C (x)

P (x) = 50 x - \frac{1}{4} x^{2} - C (x)

Für C(x) gibt es wegen der Stufenfunktion aufgrund des Fassanbruchs mehrere Fälle, die Fass für Fass durchgerechnet werden müssen, bis ein vernünftiger Wert herauskommt. Da das recht mühsam ist, (niemand weiss ob dass Maximum erst beim 2000sten Fass erreicht wird), schlage ich vor die Stufenfunktion zunächst zu "begradigen". Wenn man das Maximum ermittelt hat, weiss man ja wieviele Fässer geöffnet werden müssen und man betrachtet nur die 2 oder 3 infragekommenden Fälle.

C(x)=
300+x für 0 ≤ x ≤ 75
600+x für 75<x ≤ 150
900+x für 150<x ≤ 200

wird also für die Grobsuche zu:

C (x) = \frac{300 x}{75} + x

diese Schätzung tragen wir ein in die obige Gleichung

P (x) = 50 x - \frac{1}{4} x^{2} - C (x)

und erhalten

P (x) = 50 x - \frac{1}{4} x^{2} - (\frac{300 x}{75} + x)

P (x) = 50 - \frac{1}{4} x^{2} - (\frac{4 x}{1} + x)

P (x) = 50 x - \frac{1}{4} x^{2} - 5 x

schöner sortiert:

P (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 45 x

Somit hätten wir die Gewinnfunktion.
Das Gewinnmaximum erreichen wir durch die Nullstellensuche der Ableitung:

P (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 45 x

P ʹ (x) = - \frac{1}{2} x + 45

0 = - \frac{1}{2} x + 45

- 45 = - \frac{1}{2} x

x = 90

Daraus folgt, dass der grösste Gewinn beim Verkauf von 90 Litern entsteht.

pleindespoir aktiv_icon

22:38 Uhr, 31.05.2009

Jetzt schauen wir uns die Geschichte mal genauer an wenn wir zwei Fässer brauchen:

P (x) = 50 x - \frac{1}{4} x^{2} - C (x)

C(x)=
300+x für 0 ≤ x ≤ 75
600+x für 75<x ≤ 150

P (x) = 50 x - \frac{1}{4} x^{2} - (600 + x)

P (x) = 49 x - \frac{1}{4} x^{2} - 600

P (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 49 x - 600

P ʹ (x) = - \frac{1}{2} x + 49

0 = - \frac{1}{2} x + 49

\frac{1}{2} x = 49

x = 98

Also Gewinnmaximum bei 98Litern ...

rechnen wir mal aus, was das in Geld macht - dazu nehmen wir mal die Nachfrageumkehrfunktion:

p = 50 - \frac{1}{4} x

p = 50 - \frac{1}{4} \cdot 98

p = 50 - 24, 5

p = 25, 5

und rechnen mal mit der Menge 98 Liter à 25,5:

P_{98} = 98 \cdot 25, 5 - (600 + 98)

P_{98} = 2499 - 698

P_{98} = 1801

pleindespoir aktiv_icon

23:37 Uhr, 31.05.2009

Jetzt könnte es ja sein, dass man mit nur einem Fass besser fahrt, weil ja das zweite nur zu knapp einem Drittel gebraucht wurde.

Wenn nur 75l zum Verkauf stehen, kann man ja auch die Nachfragefunktion bemühen, um festzustellen, welcher Preis verlangt werden kann, wenn man nur 75 l verkaufen möchte.

75 = 200 - 4 p

4 p = 200 - 75

4 p = 125

p = 31, 25

Jetzt Berechnen wir nochmal Erlös und Kosten mit dem 75l-Preis:

P = 75 \cdot 31, 25 - (300 + 75)

P = 2343, 75 - 375

P = 1968, 75

So, das war ja mal wieder interessant!

Weniger Menge zum höheren Preis bringt mehr Gewinn, nämlich

P_{75} = 1968, 75

P_{98} = 1801

immerhin 167,75 !!!

Was wiedermal zeigt, dass stures herunterrechnen der Aufgaben ohne nachdenken selten zum richtigen Ergebnis führt...

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