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Differenzierbarkeit von x*|x| prüfen u. berechnen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung, Differentiation, stetig

anonymous

19:38 Uhr, 28.11.2015

Guten Abend,

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit und bestimmen Sie gegebenenfalls die Ableitung:

f : ℝ \to ℝ f (x) = x \cdot | x |

Wie prüfe ich nun bei einer Betragsfunktion, ob sie differenzierbar ist?
Und wie leite ich die Funktion dann ab? Fallunterscheidung? Danke.

mfG

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Edddi aktiv_icon

19:47 Uhr, 28.11.2015

Jau, die nicht differenzierbaren Stellen musst du jedoch ausschließen, heißt aus dem Def.-bereich rausnehmen, da ja bei der Knickstelle links- und rechtsseitige Ableitung verschieden sind.

:-)

anonymous

19:53 Uhr, 28.11.2015

Ja, bloß wo ist die Knickstelle, das ist ja nicht nur

| x |,

sondern

x \cdot | x |

. Wenn ich mir das zeichnen lasse, dann sieht es mehr oder weniger aus wie

x^{3}

also ohne Knick...

Atlantik aktiv_icon

19:57 Uhr, 28.11.2015

Nun scheint

f (x)

differenzierbar zu sein.

f (x) = x \cdot | x | = x \cdot \sqrt{x^{2}} = \sqrt{x^{4}}

[\sqrt{x^{4}}

]

= \frac{4 x^{3}}{2 \sqrt{x^{4}}}

\frac{4 x^{3}}{2 \sqrt{x^{4}}} = 0

mfG

Atlantik

Respon

20:30 Uhr, 28.11.2015

x > 0 \Rightarrow f (x) = x^{2} \Rightarrow f' (x) = 2 \cdot x

x = 0 \Rightarrow f (x) = 0 \Rightarrow f' (x) = 0

x < 0 \Rightarrow f (x) = - x^{2} \Rightarrow f' (x) = - 2 \cdot x

zu zeigen

lim_{x \to 0^{-}} - 2 \cdot x = lim_{x \to 0^{+}} 2 \cdot x = 0

In geschlossener Form könnte die Ableitung so aussehen:

f' (x) = x \cdot

sgn (x)

+ | x |

anonymous

20:43 Uhr, 28.11.2015

Die Fallunterscheidung dient also dem Beweis der Stetigkeit und Differenzierbarkeit, richtig oder wäre das auch schon eine Lösung dafür?

Wofür steht das "sgn(x)" in der geschlossenen Form der Gleichung?

Respon

20:44 Uhr, 28.11.2015

de.wikipedia.org/wiki/Vorzeichenfunktion

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