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E Funktionen Parameter extrema

Schüler Realschule, 10. Klassenstufe

Tags: Ableitung

parano39 aktiv_icon

13:58 Uhr, 25.11.2018

Ich soll erste und zweite Ableitung bilden um extrema zu berechnen, kriege nuchtmal die erste hin. Was mache ich falsch?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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parano39 aktiv_icon

14:02 Uhr, 25.11.2018

Leider spinnt diese Seite bei mir sehr sehr oft. Man kann die Bilder nicht sehen oder?

parano39 aktiv_icon

14:22 Uhr, 25.11.2018

Naja ich versuche es zu tippen. fa(x)=(ax+1)*e^(-ax)
a*e^(-ax)+(ax+1)*-a *e^(-ax)
(1-ax+1)*ae^(-ax)
0=(2-ax)
X=2/a
Ich habe produkt und kettenregel angewandt aber ich glaube es ist falsch?

ledum aktiv_icon

15:05 Uhr, 25.11.2018

Hallo
du hast richtig differenziert, aber dann einen Rechenfehler:
f'=a*e^(-ax)+(ax+1)*-a *e^(-ax) ist richtig, das ergibt f'=a*e^(-ax)*(1-ax-1)=ax*e^(-ax)
Gruß ledum

parano39 aktiv_icon

15:22 Uhr, 25.11.2018

verstehe jetzt nicht genau, wieso (1-ax-1)*a*e^(-ax) nicht gleich (-ax)*a*e^(-ax) ist wieso das das eine a weg?

anonymous

15:54 Uhr, 25.11.2018

Bitte versuch doch klar in Gleichungen zu schreiben, zu erklären und aufzuschreiben, und nicht immer in Ausdrucks-Fetzen. Das verwirrt dich selbst am aller meisten.

Also, richtig war:

f_{a} (x) = (a \cdot x + 1) \cdot e^{- a \cdot x}

Hiervon die (erste) Ableitung:

f' (x) = a \cdot e^{- a \cdot x} + (a \cdot x + 1) \cdot (- a) \cdot e^{- a \cdot x}

f' (x) = (a + (a \cdot x + 1) \cdot (- a)) \cdot e^{- a \cdot x}

f' (x) = (a - a^{2} \cdot x - a) \cdot e^{- a \cdot x}

f' (x) = - a^{2} \cdot x \cdot e^{- a \cdot x}

Gut so weit.
Willst du mal die zweite Ableitung...?

ledum aktiv_icon

15:56 Uhr, 25.11.2018

Hallo
sorry, ja du hast recht, es fehlte ein a und ein Minus , also mein Fehler. die Nullstelle bei

x = 0

ist aber die selbe.
jetzt die 2 te Ableitung also f'=-a^2x*e^(-ax) noch einmal ableiten, für den Wendepunkt : Kontrolle:

x = \frac{1}{a}

Gruß lul

parano39 aktiv_icon

16:08 Uhr, 25.11.2018

ok, ich versuche es mal aber woher weiß ich eigentlich wann produktregel und wann nicht, ist ja nicht immer so bei einem Produkt...

parano39 aktiv_icon

16:14 Uhr, 25.11.2018

Ok; ich habe es raus. Ich habe als Ableitung f´´(x)=(-a^2+a^3x)*e^(-ax) und aber wieso wird aus a^2/a^3 gekürzt 1/a, ist das nicht a oder a/1 und wie mache ich jetzt weiter die Aufgabe lautet ja, dass man zeigen soll dass der Schnittpunkt der wendetangente von fa mit der y Achse unabhängig von a ist (mathebuch cornelsen) Ich verstehe die Aufgabe nicht :(

ledum aktiv_icon

16:29 Uhr, 25.11.2018

Hallo

\frac{a^{2}}{a^{3}} = \frac{1}{a}

und nicht a wenn man bei so was unsicher ist setzt man mal Zahlen ein !
Produktregel eben immer, wenn da ein Produkt von 2 Funktionen steht. nachdem du den Wendepunkt hast, bestimme noch seinen

y

Wert, und die Steigung, dann durch

(\frac{1}{a}, f (\frac{1}{a})

eine Gerade mit Steigung

f' (\frac{1}{a})

legen.
Gruß ledum

parano39 aktiv_icon

16:36 Uhr, 25.11.2018

trotzdem bin ich verwirrt, es ist doch oben ein a zu viel dann macht das für mich a/1 mehr sinn :( und ich versuche es mal

parano39 aktiv_icon

16:39 Uhr, 25.11.2018

Als Kontrollergebnis steht 2/e, aber ich komme nicht drauf... f(1/a)=(a*1/a+1)*e^(-a*1/a) dann lässt sich doch das a kürzen und es bleibt nur 1*e^- ?

Atlantik aktiv_icon

16:49 Uhr, 25.11.2018

Ableitung mit der Quotientenregel verhindert vielleicht manchen Fehler:

f_{a} (x) = (a x + 1) \cdot e^{- a x} = \frac{a x + 1}{e^{a x}}

[\frac{a x + 1}{e^{a x}}]

= \frac{a \cdot e^{a x} - (a x + 1) \cdot e^{a x} \cdot a}{{(e^{a x})}^{2}} = \frac{a - (a x + 1) \cdot a}{e^{a x}} = \frac{a - a^{2} x - a}{e^{a x}} = \frac{- a^{2} x}{e^{a x}}

[\frac{- a^{2} x}{e^{a x}}]

= \frac{- a^{2} \cdot e^{a x} - (- a^{2} x) \cdot a \cdot e^{a x}}{{(e^{a x})}^{2}} = \frac{- a^{2} - (- a^{2} x) \cdot a}{e^{a x}} = \frac{- a^{2} + a^{3} x}{e^{a x}}

mfG

Atlantik

ledum aktiv_icon

17:37 Uhr, 25.11.2018

Hallo

f (\frac{1}{a}) = (\frac{a}{a} + 1) \cdot e^{- 1} = 2 \cdot e^{- 1} = \frac{2}{e}, e^{-}

macht keinen Sinn!
wieso ist oben ein a zu viel? da steht

\frac{a^{2}}{a^{3}} = \frac{a \cdot a}{a \cdot a \cdot a}

oder mit Zahlen

a = 2 : \frac{2^{2}}{2^{3}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

jetzt noch

f' (\frac{1}{a}) = - \frac{a^{2}}{a} \cdot e^{- 1} = - \frac{a}{e}

und die Gerade mit Steigung

- \frac{a}{e}

durch den Punkt

(\frac{1}{a}, \frac{2}{e}) g : y = - \frac{a}{e} \cdot x + \frac{3}{e}

und wirklich der

y

Abschnitt ist

\frac{3}{e}

unabhängig von

a

.
Gruß ledum

parano39 aktiv_icon

18:02 Uhr, 25.11.2018

ich hab das jetzt nicht verstanden, was genau keinen sinn macht, also wieso komme ich nicht auch auf 2/e bei meiner Rechnung? und also sollte man einfach zeigen dass b also der abschnitt, kein a erhält und daher unabhängig von a ist?

ledum aktiv_icon

18:11 Uhr, 25.11.2018

Hallo
du kommst in deiner Rechnung auf

2 \cdot e^{- 1} = \frac{2}{e}

wenn du die Fehler beseitigst:

(a \cdot \frac{1}{a} + 1) = 2

und nicht 1 dann hast du einfach

e^{-}

geschrieben das macht keinen Sinn da muss

e^{- 1}

stehen.
Gruß ledum

Atlantik aktiv_icon

18:12 Uhr, 25.11.2018

Extrema:

f

(x) = 0

\frac{- a^{2} \cdot x}{e^{a x}} = 0

->(Der Nenner kann nicht 0 werden):

x = 0 \to f (0) = \frac{a \cdot 0 + 1}{e^{a \cdot 0}} = 1

Art des Extremums:

f

´´

(x) = \frac{- a^{2} + a^{3} \cdot x}{e^{a x}}

f

´´

(0) = \frac{- a^{2} + a^{3} \cdot 0}{e^{a \cdot 0}} = - \frac{a^{2}}{1}

ist immer

< 0,

also liegt ein Maximum vor.

mfG

Atlantik

parano39 aktiv_icon

18:15 Uhr, 25.11.2018

aber wo genau fängt mein fehler an fa(...) =(a*1/a*1) *e^(-a*1/a) ist das schon falsch? ich verstehe nicht wo die eins herkommt?

ledum aktiv_icon

18:29 Uhr, 25.11.2018

Hallo
richtig war

f (\frac{1}{a}) = (a \cdot \frac{1}{a} + 1) \cdot e^{- a \cdot \frac{1}{a}}

dann hast du aus

(a \cdot \frac{1}{a} + 1) = (1 + 1)

einfach 1 statt 2 gemacht und statt

e^{- a \cdot \frac{1}{a}} = e^{- 1}

zu schreiben

e^{-}

geschrieben ( post von

16 : 39

Uhr,

25.11.2018)

jetzt schreibst du in der Klammer plötzlich

(a \cdot \frac{1}{a} \cdot 1)

statt

(a \cdot \frac{1}{a} + 1)

Mach mal ne Pause, im Moment bist du zu unkonzentriert, weil du zu lange da dran gesessen hast. Nach der Pause schreib mal

f (\frac{1}{a})

langsam auf es ist wirklich nicht schwer.
Gruß ledum

parano39 aktiv_icon

18:38 Uhr, 25.11.2018

Ah ja, ich weiß jetzt, wo mein Fehler liegt. Aber wenn man a/a hat, dachte ich eigentlich dass sich das wie immer wegkürzt und man dann nichts hat?

parano39 aktiv_icon

18:38 Uhr, 25.11.2018

Ah ja, ich weiß jetzt, wo mein Fehler liegt. Aber wenn man a/a hat, dachte ich eigentlich dass sich das wie immer wegkürzt und man dann nichts hat?

parano39 aktiv_icon

18:38 Uhr, 25.11.2018

Ah ja, ich weiß jetzt, wo mein Fehler liegt. Aber wenn man a/a hat, dachte ich eigentlich dass sich das wie immer wegkürzt und man dann nichts hat?

Atlantik aktiv_icon

18:47 Uhr, 25.11.2018

Wendepunkt:

f

´ ´

(x) = 0

\frac{a^{3} \cdot x - a^{2}}{e^{a x}} = 0

a^{3} \cdot x - a^{2} = 0

a^{3} x = a^{2} | : a^{2}

mit

a \neq 0

a \cdot x = 1

x = \frac{1}{a} \to y = \frac{a \cdot x + 1}{e^{a x}}

f (\frac{1}{a}) = \frac{a \cdot \frac{1}{a} + 1}{e^{a \cdot \frac{1}{a}}} = \frac{2}{e}

Steigung Wendetangente:

f

(x) = \frac{- a^{2} \cdot x}{e^{a x}}

f

(\frac{1}{a}) = \frac{- a^{2} \cdot \frac{1}{a}}{e^{a \cdot \frac{1}{a}}} = - \frac{a}{e}

Wendetangente:

\frac{y - \frac{2}{e}}{x - \frac{1}{a}} = \frac{- a}{e}

y - \frac{2}{e} = \frac{- a}{e} \cdot (x - \frac{1}{a})

y = \frac{- a}{e} \cdot x + \frac{1}{e} + \frac{2}{e}

y = \frac{- a}{e} \cdot x + \frac{3}{e}

mfG
Atlantik

anonymous

19:53 Uhr, 25.11.2018

"Aber wenn man

\frac{a}{a}

hat, dachte ich eigentlich dass sich das wie immer wegkürzt und man dann nichts hat?"

Was ist denn

\frac{2}{2}

?

Was ist denn

\frac{10}{10}

?

Was ist denn

\frac{743}{743}

?

Was ist denn

\frac{9 \cdot b - 23 \cdot sin (α)}{9 \cdot b - 23 \cdot sin (α)}

?

Was ist denn

\frac{- 1}{- 1}

parano39 aktiv_icon

21:10 Uhr, 25.11.2018

danke sehr. aber ich habe da zuerst -a*e^-1 raus wieso ist das das gleiche wie -a/e und ich verstehe die Berechnung von b also den y abschnitt nicht habe, das anders. ich habe ja als punkt (1/a und 2/e) und als Steigung -a/e dann wären das doch -a/e=1/a+b und dann verstehe ich das nicht mehr wie ich das umstelle und wie ich a/e durch 1/a teile? (vorher als Ansatz y=-a/e*1/a+b

anonymous

22:53 Uhr, 25.11.2018

Hallo nochmals

"-a*e^-1 raus wieso ist das das gleiche wie -a/e"

Zum dritten Mal: Bitte versuch doch klar in Gleichungen zu schreiben, zu erklären und aufzuschreiben, und nicht immer in Ausdrucks-Fetzen. Das verwirrt dich selbst am aller meisten.

Was willst du denn ausrechnen?

Nebenbei: Du solltest die Potenzgesetze schon so weit verinnerlicht haben, dass dich

- a \cdot e^{- 1} = - a \cdot (e^{- 1}) = - a \cdot (\frac{1}{e}) = - \frac{a}{e}

nicht vor Probleme stellt.

" ich habe ja als punkt

(\frac{1}{a}

und

\frac{2}{e})

"
Ich ahne, du meinst den Wendepunkt.
Ja korrekt:

>

Die x-Koordinate des Wendepunkts lautet: x_WP=

\frac{1}{a}

>

Die y-Ordinate des Wendepunkts lautet: y_WP=

\frac{2}{e}

"und als Steigung -a/e"
Ja korrekt, die Steigung im Wendepunkt lautet:
f'(x=x_WP)=

- \frac{a}{e}

"dann wäre das doch -a/e=1/a+b"
Was wäre "das"?
Wie gesagt, wenn du nur immer irgend welche Ausdrucksfetzen hinschreibst, ohne dir selbst und uns klar zu machen, wie soll da je was verständliches raus kommen?

Ich ahne, du suchst die Geradengleichung der Wendepunkts-Tangente.
Ansatzweise richtig: Ja eine Geradengleichung wird sehr häufig angesetzt mit:

y = m \cdot x + b

Hier in unserem Fall wissen wir:

>

Die Gerade hat die gleiche Steigung, wie die Funktionsgleichung im Wendepunkt, denn es soll ja eine Tangente im Wendepunkt sein.
Also:

m =

f'(x_WP)

= - \frac{a}{e}

Also:

y = m \cdot x + b = (- \frac{a}{e}) \cdot x + b

Ferner wissen wir:

>

Die Gerade geht durch den Wendepunkt WP

[

x_WP=1/a ; y_WP=2/e]
Also:
y_WP= (-a/e)*x_WP

+ b

\frac{2}{e} = (- \frac{a}{e}) \cdot (\frac{1}{a}) + b

\frac{2}{e} = - \frac{1}{e} + b

\frac{2}{e} + \frac{1}{e} = b

\frac{3}{e} = b

Somit hast du (haben wir) den y-Achsenabschnitt

b

berechnet:

b = \frac{3}{e}

Und das ist offensichtlich unabhängig von

a

.

Der Vollständigkeit halber:
Die Wendetangente hat folglich die Gleichung:

y = - \frac{a}{e} \cdot x + b

y = - \frac{a}{e} \cdot x + \frac{3}{e}

(wie bereits von den Vorrednern angesprochen.)

parano39 aktiv_icon

20:32 Uhr, 26.11.2018

vielen vielen dank Ich habe die Aufgabe eigentlich verstanden, aber habe jetzt versucht die nochmal zu rechnen und wieder einen fehler ? zweite ableitung stimmt nicht, aber wieso??? f´(x)=(-a^2x)*e^(-ax)
-a^2*e^(-ax)+(-a^2x)*(-ae^(-ax))
= -a^2 *e^-ax + a^3x*e^-ax
(a^3-a^2) *e^-ax
ich verstehe nicht wieso du das dividiert hast

anonymous

22:31 Uhr, 26.11.2018

Bitte versuch doch klar in Gleichungen zu schreiben, zu erklären und aufzuschreiben, und nicht immer in Ausdrucks-Fetzen. Das verwirrt dich selbst am aller meisten.

Du schreibst in deiner zweiten Zeile

f' (x) = (- a^{2} \cdot x) \cdot e^{- a \cdot x}

Ja, richtig.

Dann schreibst du in der dritten Zeile

- a^{2} \cdot e^{- a \cdot x} + (- a^{2} \cdot x) \cdot (- a \cdot e^{- a \cdot x})

Ein einfaches
f"(x)=

- a^{2} \cdot e^{- a \cdot x} + (- a^{2} \cdot x) \cdot (- a \cdot e^{- a \cdot x})

würde erklären, dass du hier die zweite Ableitung bildest.
Ohne "f''(x)" ist das einfach nur Buchstabensalat (Ausdrucksfetzen).

Beim Übergang von deiner vierten zur fünften Zeile hast du einfach schludrig ein "x" vergessen.

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