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Erstellen von Kostenfunktion + Ableitung

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung, Differentiation, Kostenfunktion

Jimmy1990 aktiv_icon

11:31 Uhr, 02.03.2014

Die Treibstoffkosten einer Diesellokomotive sind proportional dem Quadrat der Geschwindigkeit. Bei einer Geschwindigkeit von

v_{1} = 40

Km/h wird pro Stunde für 80€ Treibstoff verbraucht. Die Festkosten pro Stunde betragen 150€. Gesucht ist die Geschwindigkeit, bei der die Lokomotive mit minimalen Kosten pro Kilometer fährt.

Vom Prinzip würde ich sagen Kostenfunktion aufstellen und dann Ableiten um das Minimum zu finden.

Bei der Erstellung der Kostenfunktion habert es jedoch schon. Könnte mir bitte jemand helfen wie ich die

v^{2} \propto T_{K}

miteinander verschachtelt bekomme, danke.

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Jimmy1990 aktiv_icon

12:48 Uhr, 02.03.2014

. .

pleindespoir aktiv_icon

13:38 Uhr, 02.03.2014

probiere es mal mit addition

Jimmy1990 aktiv_icon

14:28 Uhr, 02.03.2014

Ich komme leider nicht darauf was ich genau machen muss. Könnte mir noch jemand ein wenig Hilfestellung geben, danke.

pleindespoir aktiv_icon

15:35 Uhr, 02.03.2014

variable Kosten:

K_{v} = a \cdot v^{2}

Gesamtkosten = variable Kosten plus Fixkosten.

wie kann man da denn nicht "drauf kommen" ???

GoldenTeddy aktiv_icon

15:43 Uhr, 02.03.2014

Hi Jimmy,

die Aufgabe muss man sich langsam und ordentlich aufschreiben, sonst wird das nix (zumindest komm ich sonst durcheinander :-D)).
Ich bin mir von der Denkweise her sicher, dass es stimmt, aber ich kann keine 100% Garantie geben.

Also:

Du willst die Kostenfunktion

K (v)

\frac{€}{k m}

aufstellen und minimieren. Die Funktion soll die Kosten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit beschreiben und als Ergebnis möchtest du die Kosten pro Kilometer herausfinden.

Nehmen wir mal die festen Kosten zuerst:

K_{F} = 150 \frac{€}{h}

. Somit beschreibt

K_{F}

die Kosten pro Zeiteinheit. Um die Kosten in Kosten pro Kilometer zu transformieren, teilen wir durch die Geschwindigkeit:

K_{F}^{v} = \frac{150 \frac{€}{h}}{v}

.

Dann ist die Einheit von

K_{F}^{v} = [\frac{€}{h} \cdot \frac{h}{k m}] = [\frac{€}{k m}] .

Also sind das die Kosten pro Kilometer.

Für den Treibstoff gilt:

K_{T} \propto v^{2} \to K_{T} = k \cdot v^{2}

. Die Proportionalitätskonstante kannst du mit den gegeben Werten für

v_{1}

und den Kosten ausrechnen.
Beachte:

K_{T}

ist wieder in

\frac{€}{h}

angegeben, also machst du die gleiche Transformation wie oben um

K_{T}^{v}

zu erhalten.

Die Einheit der Proportionalitätskonstante ist wichtig [!], denn wir sind ja Physiker und wollen immer die richtigen Einheiten haben.
Die Einheit von

k

ist

\frac{€ \cdot h}{k m^{2}}

.

Dann kannst du die Gesamtkosten pro kilometer bestimmen durch addition:

K_{g e s}^{v} = K_{g e s}^{v} (v) = K_{T}^{v} + K_{F}^{v}

. Das leitest du dann nach

v

ab und kriegst die Geschwindigkeit mit den minimalen Kosten.

Wie gesagt, ich denke vom der Denkweise sollte das hinhauen, ich weiß nur nich genau, ob ich nich irgendwo doch nen Fehler gemacht hab.

pleindespoir aktiv_icon

15:49 Uhr, 02.03.2014

" ich weiß nur nich genau, ob ich nich irgendwo doch nen Fehler gemacht hab."

Kaufleute sind keine Physiker!

Das blickt der garantiert net!

Jimmy1990 aktiv_icon

07:33 Uhr, 03.03.2014

Hab es hinbekommen vielen Dank für die Hilfe :-) Super erklärt

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