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Extrema

Schüler Gesamtschule,

Tags: Ableitung

Kleene1995 aktiv_icon

15:59 Uhr, 12.04.2013

Hallo ihr Lieben,

ich brauche unbedingt eure Hilfe.
Gegeben ist die Funktion f(x)= 4x*e^-0.5 x

a) Bestimme die Nullstellen: ich habe nur eine Nullstelle gefunden N ( 0/0 )
b) Bestimme den Extremalpunkt und den Wendepunkt

Für diese Aufgabe brauche ich unbedingt die 1 und 2 Ableitund, ich habe es auch mehrmals probiert, aber i.wie scheint das nicht richtig zu sein.

Für f'(x) habe ich e^-0.5 x(4+4x)
Die zweite Ableitung habe ich gar nicht hinbekommen.

Könnt ihr mich vill verbessern und mir helfen die Ableitungen zu bilden ?

Bitte kommt mir aber nicht mit i.welchen doofen kleinen antwort.. denk doch erstmal darüber nach und sowas.. ich sitze lange dran und ich habe viel probiert und mir ist das nicht gelungen.
Bitte hilft mir einfach.

Lg

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Matheboss aktiv_icon

16:15 Uhr, 12.04.2013

f (x) = 4 \cdot x \cdot e^{- 0,5 \cdot x}

Produktregel

f' (x) = 4 \cdot x \cdot e^{- 0,5 \cdot x} \cdot (- 0,5) + 4 \cdot e^{- 0,5 \cdot x} = e^{- 0,5 \cdot x} \cdot (- 2 \cdot x + 4) = (4 - 2 \cdot x) \cdot e^{- 0,5 \cdot x}

f'' (x) = (4 - 2 \cdot x) \cdot e^{- 0,5 \cdot x} \cdot (- 0,5) + (- 2) \cdot e^{- 0,5 \cdot x} = e^{- 0,5 \cdot x} \cdot (- 2 + x - 2) =

= (- 4 + x) \cdot e^{- 0,5 \cdot x}

Ich habe mir lange überlegt, ob ich Dir antworte. Ich empfehle Dir Deinen letzten Satz zu löschen.

Kleene1995 aktiv_icon

16:57 Uhr, 12.04.2013

Vielen Dank, dass du mir trotzdem geantwortet hast. :-)
Dieser Satz ist auch nicht böse gemeint nur oft fangen Leute an mir zu helfen.. und fdragen mich viel, weil sie wollen das ich selber auf die Lösung komme ich antworte etc und dann aufeinmal kommt nichts mehr und ich bin nicht schlauer.

Matheboss aktiv_icon

17:02 Uhr, 12.04.2013

Hier helfen alle, ohne doof zu antworten. Du hast mehr davon, wenn Du mit kleinen Hilfestellungen selbst auf die Lösung kommst.
Ich hoffe, Du versuchst die Lösung jetzt nach zu vollziehen.

Kleene1995 aktiv_icon

17:08 Uhr, 12.04.2013

ich bin gerade dabei, nur leide komme ich nicht auf dein Ergebnis.

Also die Produktregel besagt u'v + uv' oder ?

u = 4x
u' = 4

v= e^-0.5x
v'= -0.5e^-0.5x

Wie kommst du nun auf deine Lösung ? :/
ich habe die ganze zeit i.was anderes raus.

Matheboss aktiv_icon

17:14 Uhr, 12.04.2013

Lass Dich nicht verwirren, ich mache immer

f' (x) = u \cdot v' + u' \cdot v

Bei mir sind also die Summanden vertauscht. Das Endergebnis ist aber das Gleiche.

u = 4 \cdot x

u' = 4

v = e^{- 0,5 \cdot x}

v' = - 0,5 \cdot e^{- 0,5 \cdot x}

Hier haben wir beide das Gleiche.
Stell einfach einmal Deinen Rechenweg hier rein, dann kann ich Deinen Fehler suchen.

Kleene1995 aktiv_icon

17:18 Uhr, 12.04.2013

u'v * uv' = 4*e^-0.5x + 4x+(-0.5)*e^-0.5 ?

Bei mir gibt es jetz Abendbrot.. ich bin später wieder da.
Antworte einfach, wenn du wieder online bist.
Vielen dank, dass du mir hilfst. :-D)

Matheboss aktiv_icon

17:27 Uhr, 12.04.2013

Du hast geschrieben,

... = 4 \cdot e^{- 0,5 \cdot x} + 4 \cdot x + (- 0,5) \cdot e^{- 0,5}

Du hast hier ein Pluszeichen, an Stelle von "mal", (Schreibfehler?) und außerdem fehlt beim letzten Faktor das "x".

Ich gehe davon aus, dass Du schreiben wolltest,

... . = 4 \cdot e^{- 0,5 \cdot x} + 4 \cdot x \cdot (- 0,5) \cdot e^{- 0,5 \cdot x} = 4 \cdot e^{- 0,5 \cdot x} - 2 \cdot x \cdot e^{- 0,5 \cdot x} = (4 - 2 \cdot x) \cdot e^{- 0,5 \cdot x}

Übrigens, öfter Klammern setzen,

e^{- 0,5 \cdot x} =

"e^(-0,5*x)" die Anführungszeichen natürlich weglassen.

Da ich jetzt auch auslogge, nochmals 2. Ableitung

u = 4 - 2 \cdot x

u' = - 2

v

wie oben

f'' (x) = - 2 \cdot e^{- 0,5 \cdot x} + (4 - 2 \cdot x) \cdot (- 0,5) \cdot e^{- 0,5 \cdot x} = - 2 \cdot e^{- 0,5 \cdot x} + (- 2 + x) \cdot e^{- 0,5 \cdot x} =

= (- 2 - 2 + x) \cdot e^{- 0,5 \cdot x} = (- 4 + x) \cdot e^{- 0,5 \cdot x}

Kleene1995 aktiv_icon

17:32 Uhr, 12.04.2013

Vielen lieben dank, die erste Ableitung habe ich verstanden. :-)

Matheboss aktiv_icon

17:36 Uhr, 12.04.2013

Ich habe oben die 2. Ableitung ergänzt, siehe

17 : 27 h

Kleene1995 aktiv_icon

17:40 Uhr, 12.04.2013

Dankeschön.. :-D) :-D)

Matheboss aktiv_icon

17:42 Uhr, 12.04.2013

Bitte sehr!

Mach bitte einen Haken, wenn Deine Frage damit beantwortet ist.

Atlantik aktiv_icon

19:24 Uhr, 12.04.2013

Es gibt noch einen Weg:

f (x) = 4 x \cdot e^{- 0,5 x}

f (x) = \frac{4 x}{e^{0,5 x}}

Nun differenzieren mit der Quotientenregel:

[\frac{4 x}{e^{0,5 x}}]

´=

\frac{4 e^{0,5 x} - 4 x \cdot 0,5 \cdot e^{0,5 x}}{{(e^{0,5 x})}^{2}} = \frac{4 e^{0,5 x} - 2 x \cdot e^{0,5 x}}{{((e^{0,5 x}))}^{2}} = \frac{4 - 2 x}{e^{0,5 x}}

mfG

Atlantik

Kleene1995 aktiv_icon

18:00 Uhr, 16.04.2013

Danke, dass habe ich verstanden und erledigt. :-D)
ich habe heute eine Klausur geschrieben und die ganze zeit gelernt, daher hatte ich keine zeit online zu gehen.
Sag mal weißt du was gemeint ist wenn ich das Monotonie und Krümmungsverhalten von f beschreiben soll ?

Kleene1995 aktiv_icon

18:05 Uhr, 16.04.2013

Oh gott, die 3 Ableitung soll ich auch noch können. :(

Kleene1995 aktiv_icon

18:48 Uhr, 16.04.2013

Beim Monotonieverhalten habe ich links vom Scheitelpunkt fallend und rechts vom Scheitelpunkt steigend. Richtig ?
ich habe eine Skizze gemacht und es ist eine Parabel.

Beim Krümungsverhalten muss ich f''(x) nach x auflösen oder ?
f''(x)= (-4+x)*e^-0.5x
Wie löse ich das nach x auf ?

ist f''(x) < 0 = rechtsgekrümmt
f''(x)> 0 = linksgekrümmt ?

Und kann mir bitte jemand bei der 3 Ableitung helfen ?

funke_61 aktiv_icon

11:03 Uhr, 17.04.2013

"Beim Monotonieverhalten habe ich links vom Scheitelpunkt fallend und rechts vom Scheitelpunkt steigend. Richtig ?"
leider nicht.

MONOTONIEVERHALTEN:
Du untersuchst, wo Deine Extremwerte (bzw. wagrechte Tangenten) liegen.
(Beachte: an jedem Extremwert (Hochpunkt bzw. Tiefpunkt) WECHSELT das Monotonieverhalten.
Vorsicht: bei einem Terrassenpunkt

(f' (x) = 0

und zusätzlich

f'' (x) = 0)

wechselt das Monotonieverhalten nicht.
Beachte: bei einem Terrassenpunkt gilt "nur" monoton steigend (bzw. monoton fallend) - (nicht "streng" monoton

...)

wegen

f' (x) = 0 \to

wagrechte Tangente im Terrassenpunkt

\to

Steigung

= 0

im Terrassenpunkt!).

Du findest (über die "Bedingung für wagrechte Tangenten"

f' (x) = 0)

hier nur einen Hochpunkt bei

x = 2

(Hochpunkt, weil

f'' (2) < 0)

.

Die Funktion

f (x) = 4 x \cdot e^{- 0,5 x}

geht für

x \to - \infty

gegen

- \infty

weil

lim_{x \to - \infty} 4 x \cdot e^{- 0,5 x} = - \infty

f (x)

steigt also streng monoton von

- \infty

bis zum Hochpunkt bei

x = 2

Anschließend ("rechts neben dem Hochpunkt bei

x = 2

") also für

x > 2

fällt

f (x)

nur noch streng monoton, da es keine weiteren wagrechten Tangenten gibt.

"ich habe eine Skizze gemacht und es ist eine Parabel"

Nein es ist keine "Parabel" , unter anderem auch deshalb nicht, weil für

x \to + \infty

die Funktion

f (x)

gegen Null geht.

f (x)

hat also die wagrechte Asymptote

y = 0

für

x \to \infty,

siehe auch die unten angehängte Skizze.

"Beim Krümungsverhalten muss ich

f'' (x)

nach

x

auflösen oder ?

f'' (x) = (- 4 + x) \cdot e^{- 0} . 5 x

Wie löse ich das nach

x

auf ?"
Nein! Ausserdem kannst doch hier gar nicht nach

x

auflösen, weil

x

sowohl im Exponent als auch als Faktor vorkommt.

KRÜMMUNGSVERHALTEN:
Du untersuchst, wo

f'' (x)

positiv ist und wo

f'' (x)

negativ ist.
(Beachte: An jedem Wendepunkt WECHSELT das Krümmungsverhalten.)
siehe zB. auch über diesen Link:

http//exbook.de/20071026-kurvendiskussion-kruemmungsverhalten-und-wendepunkte/

Dort findet sich unter einer sehr guten Skizze dieser Text:
"Die Krümmung beschreibt die Änderung der Steigung, ist also die Ableitung der Steigung. Die Steigung aber wird durch die Ableitung der Ausgangsfunktion beschrieben. Deshalb wird die Krümmung der Funktion

f

durch ihre zweite Ableitung f” (also die Ableitung der Ableitung) beschrieben. Ist die zweite Ableitung kleiner als

0,

so sinkt die Steigung von

f,

der Graph ist also rechtsgekrümmt. Ist f” dagegen größer als

0,

so wird die Steigung von

f

größer und der Graph ist linksgekrümmt.

Hier hat

f (x)

bei

x = 4

einen Wendepunkt.
aus

f'' (x) = e^{- 0,5 x} \cdot (x - 4) = 0

folgt: möglicher Wendepunkt bei

x = 4

.
und

x = 4

in die dritte Ableitung eingesetzt und untersucht, ob

f''' (x = 4) \neq 0

ist:

f''' (x = 4) = e^{- 0,5 x} \cdot (3 - \frac{x}{2}) = e^{- 0,5 \cdot 4} \cdot (3 - \frac{4}{2}) = e^{- 2} \cdot (3 - 2) = e^{- 2} = \frac{1}{e^{2}} \neq 0

(also Wendepunkt bei

x = 4,

weil dritte Ableitung an der Stelle

x = 4

ungleich 0 ist)

Vor dem Wendepunkt (für

x < 4)

ist

f'' (x) < 0 \Rightarrow

hier ist der Graph rechtsgekrümmt
Nach dem Wendepunkt (für

x > 4)

ist

f'' (x) > 0 \Rightarrow

hier ist der Graph linksgekrümmt

"ist

f'' (x) < 0 =

rechtsgekrümmt

f'' (x) > 0 =

linksgekrümmt ?"
kann also mit Ja beantwortet werden :-)

Die dritte Ableitung läuft nach dem selben Schema ab wie die zweite Ableitung. Das Ergebenis dieser dritten Ableitung habe ich oben in meinem Beitrag "versteckt" ;-)
;-)

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