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Extremaufgaben Problem

Schüler Gymnasium,

Tags: Ableitung, Extrema, Extremaufgaben, volum

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19:00 Uhr, 13.03.2025

Ich habe Probleme bei meinen Mathehausaufgaben und da demnächst ein Test ansteht wäre ich über Hilfe bei Lösung dieser Aufgabe sehr dankbar:

Die Tragfähigkeit eines Balkens ist proportional zu seiner Breite $b$ und zum Quadrat seiner Höhe $h$ . Seine Tragfähigkeit $T$ kann deshalb mit der Formel $T = b$ • $h^{2}$ beschrieben werden.
Bestimmen Sie die optimalen Maße eines Balkens, der aus einem Rundholz mit dem Durchmesser $30$ cm geschnitten werden soll und eine möglichst große Tragfähigkeit hat.

Lösungsansätze hab ich bisher keine. Ich habe nur versucht die Gleichung für den Umfang einend Kreises irgendwie in die gegebene Gleichung des Holzbalken einzusetzen, was aber nicht geklappt hat, da es keine übereinstimmenden Variablen gibt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

19:56 Uhr, 13.03.2025

Nun, vielleicht hilft dir diese Zeichnung

und das Denken an Herrn Pythagoras um einen Zusammenhang zwischen Breite $b$ und Höhe $h$ des Balkens zu erkennen. Der Radius $r = 15 c m$ ist ja ohnedies vorgegeben.
Wenn du einen Zusammenhang wischen $b$ und $t$ gefunden hast, kannst du ja zB nach $h$ auflösen und in die Zielfunktion $T = b \cdot h^{2}$ einsetzen. Diese ist dann nur mehr von einer Variablen abhängig und ich denke, dass du dann weißt, wie man weiter vorgeht.

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21:44 Uhr, 13.03.2025

Ich danke ihnen sehr für diese hilfreiche Antwort. Die Skizze hat’s mir vereinfacht das ganze zu verstehen. Die Ergebnisse müssten dann h=24,49cm und b=17,32cm sein. Dankeschön :-)

Randolph Esser aktiv_icon

21:55 Uhr, 13.03.2025

Mit dem Tipp von Roman22 findet man

${(\frac{b}{2})}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2} = r^{2}$

$\Rightarrow h = 2 \sqrt{r^{2} - {(\frac{b}{2})}^{2}}$ .

Damit machen wir aus der Tragfähigkeitsformel

$T = b h^{2} = 4 b (r^{2} - {(\frac{b}{2})}^{2}) = - b^{3} + 4 r^{2} b,$

eine Funktion von $b$ .

Nun die übliche Kurvendiskussion,

um das Maximum zu finden:

$0 = (- b^{3} + 4 r^{2} b)' = - 3 b^{2} + 4 r^{2} \Leftrightarrow b = \frac{2}{\sqrt{3}} r$ .

Ist die zweite Ableitung für das gefundene $b$ kleiner 0 ?

$0 > (- 3 b^{2} + 4 r^{2})' = - 6 b = - 4 \sqrt{3} r,$ Bingo !

Also ist

$b = \frac{2}{\sqrt{3}} r,$

$h = 2 \sqrt{r^{2} - {(\frac{r}{\sqrt{3}})}^{2}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}} r$

die eindeutige Lösung.

Für $r = 15$ cm also $b \approx 17,321$ cm und $h \approx 24,495$ cm.

hyperhelius aktiv_icon

22:00 Uhr, 13.03.2025

Ich habe das mithilfe von Romans Informationen eigentlich genauso auch gelöst. Der einzige Unterschied ist, das ich $b^{2} + h^{2} = d^{2}$ verwendet habe um auf $h$ umzuformen. Ich fand es so ein bisschen übersichtlicher. Trotzdem Danke.

Roman-22

22:06 Uhr, 13.03.2025

$>$ Ergebnisse müssten dann h=24,49cm und b=17,32cm sein.
Ist numerisch richtig.

Genau ist $b = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot d$ und $h = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot d$ mit $d = 30 c m$ .

Generell stellt sich die höchste Belastbarkeit dann ein, wenn für das Verhältnis von Höhe zu Breite gilt $h : b = \sqrt{2} : 1$

Dieses Verhältnis haben schon die alten Phönizier für die Balken beim Schiffsbau benutzt (vermutlich, ohne eine Extremwertsaufgabe analytisch gelöst zu haben).

hyperhelius aktiv_icon

22:08 Uhr, 13.03.2025

Danke

HAL9000

12:58 Uhr, 14.03.2025

> (vermutlich, ohne eine Extremwertaufgabe analytisch gelöst zu haben).

Sie könnten stattdessen z.B. AMGM (Ungleichung von arithmetischem und geometrischen Mittel) genutzt haben, gemäß der gilt

$\sqrt[3]{\frac{T^{2}}{4}} = \sqrt[3]{b^{2} \cdot \frac{h^{2}}{2} \cdot \frac{h^{2}}{2}} \leq \frac{b^{2} + \frac{h^{2}}{2} + \frac{h^{2}}{2}}{3} = \frac{b^{2} + h^{2}}{3} = \frac{d^{2}}{3}$

bzw. mit $\frac{3}{2}$ potenziert und weiter umgeformt $T \leq \frac{2 \sqrt{3}}{9} d^{3}$ mit Gleichheit genau dann wenn $b^{2} = \frac{h^{2}}{2}$ , was zusammen mit $b^{2} + h^{2} = d^{2}$ dann $b = \frac{\sqrt{3}}{3} d$ und $h = \frac{\sqrt{6}}{3} d$ ergibt.

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