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Extremstelle berechnen mit dem Newton-Verfahren

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Analysis, Extrema, extremstelle, Funktion, newtisches Näherungsverfahren, Newton-Verfahren

Laxisy aktiv_icon

15:47 Uhr, 13.01.2014

Hallo!

Mit folgender Aufagbe komme ich leider nicht weiter: Die Funktion

f (x) = x^{2} + 3 x - 1 / x

hat genau ein Extremum. Diese Extremstelle soll nun auf 2 Nachkommastellen genau mithilfe des Newton-Verfahrens ermittelt werden, indem man 2 Schritte dieses Verfahrens durchführt.

Nun weiß ich bereits, dass man zum Ermitteln der Extrema die Nullstellen der Ableitung benötigt, daher habe ich

f (x)

auch schon mal abgeleitet:

f ʹ (x) = 2 x + 3 + 1 / x^{2}

So, jetzt kommt aber das Newton- Verfahren ins Spiel und an diesem Punkt weiß ich auch nicht mehr weiter...

Es wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! Vielen Dank schon mal :-)

Laxisy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
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Matheboss aktiv_icon

16:49 Uhr, 13.01.2014

Du brauchst also die Nullstelle von

f' (x)

f' (x) = 2 \cdot x + 3 + \frac{1}{x^{2}}

das hast Du ja schon.
Du brauchst jetzt einen Startwert.
Wertetabelle mit TR und Du findest einen Vorzeichenwechsel

f' (- 2) = - 0,75

f' (- 1) = 2

\Rightarrow

es liegt eine Nullstelle zwischen

x = - 2

und

x = - 1

Also nimm

z . B

x = - 1

als Startwert.
Da es bei Dir um die Nullstellen der 1. Ableitung geht, brauchst Du dann auch die 2. Ableitung.

Die "normale Formel für Nullstellen der Funktion verschiebt sich dann in Richtung der Ableitungen"

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f' (x_{n})}{f'' (x_{n})}

also mit

x_{0} = - 1

x_{1} = - 1 - \frac{f' (- 1)}{f'' (- 1)}

Kontrolle

x_{1} \approx - 1,667

x \approx - 1,678

1137591

1137573

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