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Extremstellen berechnen ohne taschenrechner

Schüler Gymnasium,

Tags: 0 gleichstellen, Ableitung, Extremstellen

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finni125

finni125 aktiv_icon

17:17 Uhr, 01.10.2012

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Kann mir vill. einer mal kurz helfen. Ich habe hier eine Formeln

f (x) = x^{5} - 4 x^{2}

mit der Ableitung

f' (x) = 5 x^{4} - 8 x

. Um die Extremstellen der Funktion

f

herauszubekommen muss ich ja eigentlich nur die Ableitung

f'

mit 0 gleichstellen.
Kann mir einer helfen wie ich das am geschicktesten mache?
Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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McMannus

McMannus aktiv_icon

17:29 Uhr, 01.10.2012

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5 x^{4} - 8 x = 0

Als erstes schaust du, welche Potenz in

x

du höchstens ausklammern kannst. In diesem Fall nur

x^{1} :

x \cdot (5 x^{3} - 8) = 0

Nun sagt uns die Produktregel, dass ein Produkt gleich Null ist, wenn ein Faktor davon gleich Null ist. Damit erhalten wir die erste Nullstelle

x_{1} = 0,

da dafür der linke Faktor gleich Null ist.

Es bleibt noch

5 x^{3} - 8 = 0

zu prüfen:

Das löst man mit Äquivalenzumformungen auf.

5 x^{3} = 8

x^{3} = \frac{8}{5}

x_{2} =^{3} \sqrt{\frac{8}{5}}

Also haben wir potenzielle Extremstellen gefunden, für die aber noch die hinreichende Bedingung

f'' (x) \neq 0

geprüft werden muss.

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