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Extremstellen durch Newton-Verfahren

Schüler Gymnasium,

Tags: Ableitung, Extrema, Newton-Verfahren, Quotientenregel

Guentha aktiv_icon

14:46 Uhr, 02.01.2013

Hallo

Ich soll folgende Aufgabe lösen:

Die Funktion

f : x \to \frac{x^{3} - 1}{x - 1}

Df=R\

{1}

besitzt ein lokales Extremum. Ermittle die Extremstelle mit dem Newton-Verfahren. Wähle als Startwert

x 0 = 2

und führe zwei Iterationsschritte durch.

Newton-Verfahren ist ja

\to x 0 - \frac{f (x 0)}{f' (x 0)},

also

2 - \frac{f (2)}{f' (2)};

f' (x) = \frac{(3 x^{2} (x - 1)) - ((x^{3} - 1) 1)}{{(x - 1)}^{2}}

= \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 1}{{(x - 1)}^{2}};

damit ist die Formel

\to 2 - \frac{f (2)}{f' (2)} = 2 - \frac{7}{5} = 0,6

(entspricht 1 Iterationsschritt)

\Rightarrow 0,6 - \frac{f (0,6)}{f' (0,6)} = 0,6 - \frac{1,96}{2,2} = - 0,2909090 . .

.

Irgendwas hab ich da doch falsch verstanden, oder warum macht das keinen Sinn?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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anonymous

15:00 Uhr, 02.01.2013

Hallo
Die Nullstellen der Funktion

f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x - 1}

kannst du auch explizit errechnen.

Aber das ist nicht die Aufgabe.
Du sollst: "Ermittle die Extremstelle..." der Funktion

f (x)

.

Und wie macht man das? Nun denn, eigentlich wie immer.
Ableitung bilden:

f' (x)

Die Nullstellen der ABLEITUNG suchen:

f' (x) = 0

Und das kannst du dann per Newton-Verfahren machen, so wie du es oben schon für

f (x)

passabel trainiert hast...

Guentha aktiv_icon

15:31 Uhr, 02.01.2013

Also dann

\to x - \frac{f' (x)}{f'' (x)}

?
Ich komme dabei auf

2 - \frac{5}{2} = - 0,5

. Sollte das Ergebnis nicht näher an meinem Startwert liegen? Ich glaube ich habe nicht ganz verstanden was Du meinst. Könntest Du das evtl. noch etwas ausführen? Ich habe schon Probleme die Formel zu verstehen weil sich mir nicht wirklich erschließt wie das funktioniert...

anonymous

17:02 Uhr, 02.01.2013

Um dir klarer zu machen, was du da tust, empfehle ich dir, eine Skizze, oder besser eine Zeichnung zu Papier zu bringen,

>

von der Funktion

f (x)

>

vom Extrempunkt

>

ggf. von der Ableitung

Eine Skizze führt dir vielleicht besser vor Augen, was du da machst.
Dann siehst du viellicht besser, dass die

- 0.5

eigentlich sehr gut ist!

Guentha aktiv_icon

17:03 Uhr, 02.01.2013

Danke, hat mir sehr geholfen!

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