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Extremwertaufgabe Parabel, Dreieck und Gerade

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Aufgabe, Dreieck, Extremwert, Gerade, Parabel

Bjoern aktiv_icon

08:34 Uhr, 28.10.2008

Guten Tag, ich benötige einen Anstoß bei folgender Fragestellung:

Durch $f (x) = \frac{1}{4} x^{2}$ ist eine Parabel gegeben.

Eine Paralelle $y = t$ zur x-Achse mit $t$ Element $R, 0 < t < 6$ schneidet die Parabel in den Punkten $P 1$ und $P 2$ . Der Punkt $P 3 (0; 6)$ bestimmt mit diesen Punkten ein gleichschenkliges Dreieck.

Wie muss $t$ gwählt werden, damit das Dreieck einen maximalen Flächeninhalt A hat.

Durch gleichsetzten von f(x) und y=t erhält man:

P1 (- $\sqrt{4 t}$ ;t) und P2 ( $\sqrt{4 t}$ ;t)

Der Flächeninhalt von Dreiecken ist: 1/2 ab.

Die erste Ableitung von f(x)= 1/2x

Die zweite Ableitung von f(x) = 1/2

Kann mir jemand einen Anstoß geben, wie es weitergehen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

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reilly aktiv_icon

10:00 Uhr, 28.10.2008

Hallo,

ich gebe Dir nur mal einen allgemeinen Anstoss. Die Flaeche des Dreiecks ist eine Funktion der Seitenlaengen

a, b, c

. Da in unserem Fall das Dreieck gleichschenklig ist, koennen wir annehmen, dass

b = c

. Die Flaeche ist also

F (a, b),

wobei Du oben behauptest, dass F(a,b)=1/2ab ist, was aber doch nur in rechtwinkligen Dreiecken gilt. Das ist hier nicht gegeben. Also denke nochmal drueber nach, wie man

F (a, b)

berechnet.
Der zweite Schritt ist nun, die Seitenlaengen a und

b

mit Hilfe der Eckpunkte auszudruecken a ist der Abstand von

P 1

nach

P 2, b

der Abstand von

P 1

nach

P 3

(oder von

P 2

nach

P 3,

aber das ist gleich). Auch den Abstand kann man als Funktion der Punkte schreiben

a = d (p 1, p 2), b = d (p 1, p 3) = d (p 2, p 3

).
Der dritte Schritt besteht darin zu erkennen, dass die Punkte

p 1

und

p 2

Funktionen von

t

sind, man also genaugenommen

p 1 (t)

und

p 2 (t)

schreiben sollte. Diese Funktionen hast Du ja bereits ausgerechnet.
Nun nimmt man den ganzen Kram und setzt ihn zusammen

F (a, b) = F (d (p 1, p 2), d (p 1, p 3)) = F (d (p 1 (t), p 2 (t)), d (p 1 (t), p 3))

Das sieht kompliziert aus, aber im Endeffekt steht da nun eine Funktion fuer den Flaecheninhalt des Dreiecks, die nur noch von

t

abhaengt. Ausserdem wird sich da wohl auch einiges rauskuerzen. Jedenfalls suchst Du von dieser Funktion das Maximum.

Gruss,
Reilly

Bjoern aktiv_icon

10:10 Uhr, 28.10.2008

Ahso, werde es mal so probieren.

Schreibe dann meine Lösung mal hierher.

Vielen Dank im Voraus für den Anstoß.

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