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Extremwertaufgabe, Rechteck im Halbkreis

Schüler Gymnasium, 8. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Extremwertaufgabe, halbkreis, maximaler flächeninhalt, Rechteck

Flecki88 aktiv_icon

22:52 Uhr, 24.11.2012

Hallo,
also, an sich verstehe ich die Aufgabe. Jedoch verzweifle ich an der Nebenbedingung.

In einem Halbkreis

(r = 1 m)

soll ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt einbeschrieben werden. Wie breit und wie hoch muss dieses sein? Berechne die Fläche des Rechtecks.

Maßstab:

1 : 10

Hauptbedinung:

A = a \cdot b

Danach habe ich auch noch Gebrauch von der Diagonalen

(r)

gemacht, indem ich den Satz des Pythagoras angewendet habe.

Nebenbedingung:

1 .) a = 2 x

2 .) r^{2} = a^{2} + b^{2}

b^{2} = r^{2} - a^{2}

Wurzel

b = \sqrt{r^{2} - a^{2}}

radius

= 10

cm einsetzen

b = \sqrt{100 - 4 x^{2}}

Ziel:

A = 2 x (\sqrt{100 - 4 x^{2}})

???

Ist es richtig bis hierhin? Die Nebenbedingungen scheinen mir falsch...

Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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anonymous

23:06 Uhr, 24.11.2012

Um den Variablencharakter besser hervorzuheben, wäre die Bezeichnung

2 \cdot x

und

y

günstiger.
1. Seite des Rechtecks:

2 \cdot x

2. Seite des Rechtecks:

y

es gilt:

r^{2} = x^{2} + y^{2} \Rightarrow y = \sqrt{r^{2} - x^{2}}

A (x, y) = 2 \cdot x \cdot y

A (x) = 2 \cdot x \cdot \sqrt{r^{2} - x^{2}}

A (x) = \sqrt{4 \cdot x^{2} \cdot (r^{2} - x^{2})}

Soll Maximum werden
Diese Funktion wird dann ein Maximum, wenn der Term unter der Wurzel ein Maximum ist.
Also Hilfsfunktion

f (x) = 4 \cdot x^{2} \cdot (r^{2} - x^{2}),

differenzieren und 0 setzen.

Flecki88 aktiv_icon

23:23 Uhr, 24.11.2012

Erstmal danke für Ihre Antwort.Jedoch konnte ich nur bis

A (x) = \sqrt{4 \cdot x^{2} \cdot (r^{2} - x^{2})}

folgen.

Was meinen Sie mit "Maximum werden"? Meinen Sie damit den Hochpunkt errechnen?
Und wieso darf bei der

f (x) -

Funktion die Wurzel wegfallen?

Danke im Voraus.

anonymous

23:28 Uhr, 24.11.2012

A (x) = \sqrt{4 \cdot x^{2} \cdot (r^{2} - x^{2})}

Soll Maximum werden
Normalerweise müsste ich die Funktion differenzieren und 0 setzen, um das Maximum zu erhalten.
Der Wert einer Wurzel wird aber dann ein Maximum, wenn der Term unter der Wurzel ein Maximum wird. Also betrachte ich nur den Term unter der Wurzel und bezeichne ihn mit

f (x)

f (x) = 4 \cdot x^{2} \cdot (r^{2} - x^{2})

Maximum ist gefragt, also differenzieren und 0 setzen.

anonymous

23:46 Uhr, 24.11.2012

Das sieht dann so aus:

f (x) = 4 \cdot x^{2} \cdot (r^{2} - x^{2})

f (x) = 4 \cdot r^{2} \cdot x^{2} - 4 \cdot x^{4}

f' (x) = 8 \cdot r^{2} \cdot x - 16 \cdot x^{3}

f' (x) = 0 \Rightarrow 8 \cdot r^{2} \cdot x - 16 \cdot x^{3} = 0

8 \cdot x \cdot (r^{2} - 2 \cdot x^{2}) = 0 \Rightarrow x_{1} = 0

( sinnloser Wert, kann nicht gebraucht werden )

r^{2} - 2 \cdot x^{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{r}{\sqrt{2}}

x^{2} + y^{2} = r^{2} \Rightarrow \frac{r^{2}}{2} + y^{2} = r^{2} \Rightarrow y = \frac{r}{\sqrt{2}}

Das rechteck hat also die Seiten

2 \cdot x = \frac{2 \cdot r}{\sqrt{2}}

und

y = \frac{r}{\sqrt{2}}

Statt

\frac{r}{\sqrt{2}}

kann man auch schreiben

\frac{r \cdot \sqrt{2}}{2}

Flecki88 aktiv_icon

23:49 Uhr, 24.11.2012

f (x) = 4 x^{2} \cdot (r^{2} \cdot x^{2}) = 4 x^{2} \cdot r^{2} - 4 x^{4} = 400 x^{2} - 4 x^{4} = - 4 x^{4} + 400 x^{2}

f'' (x) = - 16 x^{3} + 800 x

f''' (x) = - 48 x^{2} + 800

. .

x = \sqrt{50}

Hab ich etwas falsch gemacht? Denn mein Graph geht ja eigentlich nur

- 10

bis

+ 10

anonymous

23:57 Uhr, 24.11.2012

x = \frac{r}{\sqrt{2}}

r = 1

(m)

\Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{0,5} = 0,707

(m)

Bei einem Maßstab

1 : 10

entspricht das

7,07

\sqrt{50} = 7,07

anonymous

00:12 Uhr, 25.11.2012

Hier gibt es auch keinen "Graph" von

- 10

bis +10.Die Aufgabe ist rein geometrisch ohne Koordinatensystem, Graphen und/oder Hochpunkt.

anonymous

00:23 Uhr, 25.11.2012

Siehe Zeichnung.

Flecki88 aktiv_icon

00:28 Uhr, 25.11.2012

Endlich hab ichs verstanden! Vielen Dank!

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