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Extremwertaufgabe "Regenrinne"

Schüler Gymnasium,

Tags: Ableitung, Extremwertaufgabe, regenrinne

Jana203 aktiv_icon

15:03 Uhr, 04.12.2011

Hallo :-) Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt, ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:
Die Querschnittsfläche einer Regenrinne gleicht einem großen

U, d . h

. unten Halbkreis, darauf ein
Rechteck. Die Rinne ist oben offen. Sie soll eine Querschnittsfläche von

160

cm2 haben. Bestimme
Radius des Halbreises und Höhe des Rechtecks bei minimalem Umfang,

d . h

. daß bei der
Herstellung der Materialverbrauch minimal wird!
Mein Lösungsversuch:
Hauptbedingung:

U = 2 \cdot h + π \cdot r

Nebenbedingung:

160 = 2 \cdot r \cdot h + 0,5 \cdot π \cdot r^{2}

Dann habe ich die Nebenbedingung nach

h

aufgelöst:

h = \frac{160}{2 \cdot r} - 0.5 \cdot π

Danach habe ich versucht die Zielfunktion zu erstellen, indem ich

h

in die Hauptbedingung eingesetzt habe.

f (r) = \frac{160}{r} - π + π \cdot r

Diese Funktion hat mich schon irgendwie verwirrt, aber da ich keinen Fehler gefunden habe, habe ich damit weitergerechnet. Ich habe sie dann abgeleitet.

f' (r) = - \frac{160}{r^{2}} + π, f'' (r) = \frac{320}{r^{3}}

(Bei den Ableitungen bin ich mir auch unsicher)
Dann habe ich

f' (r) = 0

gesetzt und nach

r

aufgelöst. Mein Ergebnis ist

r = \sqrt{\frac{160}{π}}

Dies habe ich in die 2. Ableitung eingesetzt und da das Ergebnis positiv war, bestätigt das ja, dass dort ein Tiefpunkt vorliegt

\to

möglichst wenig Material verwenden.
Dann habe ich

r = \sqrt{\frac{160}{π}}

versucht in

h = \frac{160}{2 \cdot r} - 0.5 \cdot π

einzusetzen und mein ergibnis war

\approx 9,64

. Um mein Ergebnis zu überprüfen habe ich

r

und

h

in die Nebenbedingung eingesetzt, wo dann ja eigentlich

160

herauskommen sollte. Mein Ergebnis war aber irgendwas mit

217

und ich weiß nicht was ich falsch gemacht habe

: (

Bitte helft mir! Vielen Dank im voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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