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Extremwertaufgaben

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Extrema, Extremwertaufgaben, Funktion

nooob2 aktiv_icon

19:46 Uhr, 30.11.2016

Hallo Leute,

habe folgende 2 Aufgaben:

1)
Ein Sportplatz welches aus einer Rechteckfläche und zwei Halbkreisen besteht hat den Umfang von 400m. Berechne die genauen Maße des Platzes wenn
a) die Rechteckfläche maximal werden soll
b) die Gesamtfläche maximal werden soll

Habe diese Aufgabe so gelöst:

U = 400 = 2 x + 2 r π

200 = x + r π

x = 200 - r π

Das x in folgende Funktion eingesetzt

A_{(r)} = x * 2 r

A_{(r)} = (200 - r π) * 2 r

A_{(r)} = 400 r - 2 π r ²

A ʹ_{(r)} = 400 - 4 π r

0 = 400 - 4 π r

r = 100 / π

A ʺ_{(r)} = - 4 π < 0

also handelt es sich um ein Maxima

r = 100 / π

einsetzen in

U = 400 = 2 x + 2 r π

x = 100

Also erhalte ich eine maximale Rechteckfläche wenn

x = 100

und

r = 100 / π

Doch was muss ich tun, um eine maximale Gesamtfläche zu erhalten?

2) Die Nutzenfunktion ist abhängig von zwei Gütern. Was zu essen kostet 2€ ein Getränk kostet 5€. Ein Budget von 30€ ist gegeben. Gegebene Nutzenfunktion vom Typ Cobb-Douglas:

U_{(x_{1}, x_{2})} = 10 x_{1}^{0, 6} x_{2}^{0, 4}

x_{1} = E s s e n

x_{2} = G e t r ä n k

Ermitteln Sie die nutzenmaximale Mengenkombination.

Ich habe mir folgendes gedacht:
Nebenbedingung:

30 = 2 x_{1} + 5 x_{2}

Diese Nebenbedingung nach

x_{1}

oder

x_{2}

umstellen und in die Nutzenfunktion einfügen.
Wäre dies richtig?

Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte
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Stephan4

19:52 Uhr, 30.11.2016

1)

Flächenformel für die Gesamtfläche, statt Flächenformel für Rechtecksfläche, sonst genau so.
Flächenformel für die Gesamtfläche:

A = 2 r π + r^{2} π

.
Zwei halbkreisflächen kommen dazu.

2)

Ja, ist richtig.
Warum? Weil

U

nur von einer Variablen abhängig ist, von der auch die zweite Variable abhängt, was die NB ausdrückt.

:-)

nooob2 aktiv_icon

20:54 Uhr, 30.11.2016

1)
Wie kommt man auf

A = 2 r π + r ² π

r ² π

ist ja für den Flächeninhalt des Kreises. Wofür steht

2 r π

??

2)
Also habe ich folgende Nutzenfunktion

U_{(x_{2})} = 10 (15 - \frac{5}{2} x_{2})^{0, 6} x_{2}^{0, 4}

muss ich diese jetzt nach

x_{2}

aufflösen?

Stephan4

21:15 Uhr, 30.11.2016

1)

Hab mich geirrt.

Richtig:

A = 2 r x + r^{2} π

(Rechteck und zwei Halbkreise)

2)

nach

x_{2}

ableiten, nicht auflösen.

Du könntest aber auch

x_{2}

ersetzen und nach

x_{1}

ableiten. Sollte das selbe raus kommen (zur Probe).

:-)

nooob2 aktiv_icon

21:48 Uhr, 30.11.2016

A = 2 r (200 - r π) + r ² π

A = 400 r - r ² π

A ʹ = 400 - 2 π r

r = 63, 662

A ʺ = - 2 π < 0

also Maxima

x = 200 - r π

r eingesetzt ergibt

x = 0

so richtig?

2)
Kannst du mir einen Tipp geben? Wie fange ich mit dem Ableiten nach

x_{2}

am besten an?

Stephan4

22:37 Uhr, 30.11.2016

1)

Ist OK.
Seltsam:

x = 0

. Also ein Kreis ohne Rechteck.

Was bedeutet das?
Bei gegebenen Umfang ist die größte Fläche ein Kreis. Jedes

x

lässt zwar ein Rechteck entstehen, verkleinert aber die Breite

(2 r),

weil der Umfang gleich bleiben muss.

2)

Da musst Du alle Register ziehen:

(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

(Produktregel)

f (g)' = f' (g) \cdot g'

(Kettenregel)

x^{r} \cdot x^{s} = x^{r + s}

(Potenzrechnen)

Das war der gewünschte Tipp.

Wenn Du nicht weiter weißt, lies hier weiter:

.
.
.

U = 10 \cdot {(\frac{30 - 5 x}{2})}^{0,6} \cdot x^{0,4}

U' = 10 \cdot (0,6 \cdot {(\frac{30 - 5 x}{2})}^{- 0,4} (- \frac{5}{2}) \cdot x^{0,4} + {(\frac{30 - 5 x}{2})}^{0,6} 0,4 x^{- 0,6}) = 0

1,5 \cdot {(\frac{30 - 5 x}{2})}^{- 0,4} x^{0,4} = {(\frac{30 - 5 x}{2})}^{0,6} 0,4 x^{- 0,6} | \cdot {(\frac{30 - 5 x}{2})}^{0,4} \cdot x^{0,6}

3,75 x = \frac{30 - 5 x}{2} \to x = 2,4

Vergleiche hier:
http//funktion.onlinemathe.de/
mit
"10*((30-5x)/2)^(0,6)*x^(0,4)"
(ohne Anführungszeichen)

:-)

nooob2 aktiv_icon

22:54 Uhr, 30.11.2016

2)
Die Zeile mit

U ʹ = . .

habe ich auch aber ich verstehe nicht wie man auf die 1,5 kommt. Ich komme auf -15 :/ und wenn ich den Teil nach dem

+

auf die rechte Seite bringe muss dieser nicht negativ sein? :/

Stephan4

23:06 Uhr, 30.11.2016

0,6 \cdot (- \frac{5}{2}) = - 1,5

das auf die andere Seite gebracht lässt das Minus verschwinden.

Die

10

kürzen sich weg.

:-)

nooob2 aktiv_icon

23:28 Uhr, 30.11.2016

2) Okay das habe ich verstanden. Dann multiplizieren wir die linke Seite mit

(\frac{30 - 5 x}{2})^{0.4} * x^{0, 6}

damit auf der linken Seite nur noch 1,5 steht? Auf der rechten Seite bleibt nur noch der Bruch, weil da ^1 und ^0 stehen würde. Frage mich nur noch wie die 3,75x entstehen?! Habe ich das soweit richtig verstanden?

Enano

00:55 Uhr, 01.12.2016

Auf der linken Seite bleibt

1,5 x

stehen und auf der rechten der Bruch mal

0,4,

also:

1,5 x = \frac{30 - 5 x}{2} \cdot 0,4

Beide Seiten durch

0,4

teilen, ergibt:

3,75 x = \frac{30 - 5 x}{2}

usw.

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01:29 Uhr, 01.12.2016

2)
Ah okay. Jetzt nur noch

x_{2} = 2, 4

in die Nebenbedingung einsetzten und nach

x_{1}

auflösen.
Das heißt ich würde 9 mal was zu Essen bekommen und 2,4 Getränke.

x_{1} = 9

30 = 2 * 9 + 5 * 2, 4

Super vielen Dank habt mir sehr geholfen =)

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