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Gradient und Höhenlinien?

Universität / Fachhochschule

Tags: Ableitung, eben, Gradient, Höhenlinien, Partielle Ableitung, Vektorfeld

00Student00 aktiv_icon

13:31 Uhr, 06.12.2015

Noch eine Frage zum Thema Gradient / Gradientvektor

Ich kann mir die folgende Aufgabe einfach nicht vorstellen.

Ausgangsfunktion:

f (x, y) = \frac{1}{4} x^{2} + y^{2}

a)

Bilden sie den Gradienten und zeichnen Sie ihn für die Punkte

(0,2), (0,1), (- 2,0)

und

(0, - 1)

also

\frac{d}{d x} = \frac{x}{2}

und

\frac{d}{d y} = 2 y

\Rightarrow

grad

f (x, y) = ((\frac{x}{2}),2 y)

Die Punkte setze ich in den Gradienten ein und erhalte folgendes:

P 1 (0,2) = (1,0)

P 2 (0,1) = (0,2)

P 3 (- 2,0) = (- 1,0)

P 4 (0, - 1) = (0, - 2)

Was mache ich jetzt mit diesen Angaben?? Ich soll es zeichnen aber dabei ergibt sich bei mir folgendes Bild (Anhang)

b)

Höhenlinien zum Wert

z = 1

ergeben sich aus

f (x, y) = 1

Welche Form haben diese Linien?

woher soll ich das denn wissen?

\Rightarrow

ich kenne dieses Thema erst eine gute halbe Stunde und kann mir darunter nicht so wirklich was vorstellen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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Werner-Salomon aktiv_icon

21:14 Uhr, 07.12.2015

Hallo,

Deine Interpretation dessen was ein Gradient ist, ist meines Erachtens falsch.
Betrachte zum Beispiel den Punkt (0,2)

\frac{d}{d x} f (x, y) = \frac{x}{2}

das ist korrekt. Für den Wert (0,2) ergibt sich dann

\frac{d}{d x} f (0, 2) = \frac{0}{2} = 0

Dieser Wert ist die Steigung in

x

-Richtung im Punkt (0,2). Genauso ergibt sich für die Steigung in

y

-Richtung:

\frac{d}{d y} f (0, 2) = 2 y = 4

Stell Dir vor, Du wanderst in den Bergen und stehst an einer bestimmte Position an einem Hang - in P(0,2). Du stellst fest, dass Du in (X)Ost-West-Richtung keine Steigung hast - Deine Höhe würde sich nicht ändern, wenn Du Dich in Ost-West-Richtung bewegst. Dahingegen geht es in (Y)Nord-Richtung relativ steil bergauf (Steigung = 4).
Wie verläuft nun die Höhenlinie - also die Linie gleicher Höhe - in dem Punkt, in dem Du Dich gerade befindest?

Du schreibst: "Höhenlinien zum Wert z=1 ergeben sich aus f(x,y)=1
Welche Form haben diese Linien?
woher soll ich das denn wissen?"
Antwort: das sind Ellipsen - das sieht man doch ;-)
s.: de.wikipedia.org/wiki/Ellipse#Hauptlage_und_analytische_Definition

Wenn was nicht klar ist, so frage bitte nach.

Gruß
Werner

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