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Gradientenfeld und Satz von Schwarz

Universität / Fachhochschule

Tags: Ableitung, Funktion, Gradientenfeld

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11:07 Uhr, 16.01.2015

Sei

U \subset ℝ^{n}

offen,

v = (v_{1}, ..., v_{n}) : U \to ℝ^{n}

Gradientenfeld,

d . h

. es gibt eine Funktion

F : U \to ℝ

mit grad(F)

= v

.
Zu zeigen: Ist

v

stetig partiell differenzierbares Gradientenfeld, so gilt

\frac{δ v_{i}}{δ x_{j}} = \frac{δ v_{j}}{δ x_{i}}

für alle

i, j \in {1, ..., n}

.

Mein Gedanke war nun, dass ich wahrscheinlich den Satz von Schwarz anwenden kann:

Sei

U \subset ℝ^{n}

offen,

f : U \to ℝ

. Weiterhin seien

i, j \in {1, ..., n}, i \neq j

und

D_{i}, D_{j}

die partiellen Ableitungen.

D_{i} D_{j} f

ist existent und stetig und es gilt

D_{i} D_{j} f = D_{j} D_{i} f

Nun habe ich erst einmal umgeformt:

grad(F)

= v = (v_{1}, ..., v_{n})

Man kann

v_{i} = \frac{δ F}{δ x_{i}}

schreiben.

Z . z . : \frac{δ v_{i}}{δ x_{j}} = \frac{δ v_{j}}{δ x_{i}}

\frac{δ v_{i}}{δ x_{j}} = \frac{δ}{δ x_{j}} (\frac{δ F}{δ x_{i}}) = \frac{δ^{2}}{δ x_{j} δ x_{i}} F

.

Jetzt komme ich nicht weiter.. kann ich jetzt schon den Satz von Schwarz anwenden? Sehe nicht so richtig, wie ich von

\frac{δ^{2}}{δ x_{j} δ x_{i}} F

auf

\frac{δ v_{j}}{δ x_{i}}

kommen soll... kann mir jemand Helfen?

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