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Grenzwerte mit sinus und eulersche Zahl

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Eulersche Zahl, Grenzwert, Limes, Sinus

daneis aktiv_icon

15:20 Uhr, 14.02.2009

Hallo zusammen,

leider bin ich nicht in der Lage, die folgenden Aufgaben selbst zu lösen, geschweige denn einen Ansatz zu finden. Da ich eh Schwierigkeiten mit den Grenzwerten habe,und vor allem mit der eulerischen Zahl und allem was dazugehört, muss ich mich an euch wenden?

Ich habe zwar kleine Ansätze, wobei ich allerdings denke, dass diese vollkommener Unsinn sind :-)

Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Greetz.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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f' (x)

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\frac{0}{0}

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\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

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deadmanwalking aktiv_icon

15:25 Uhr, 14.02.2009

du musst aufpassen:

so wie du die lösung angegangen bist, löst du grenzwerte von polynomen und rationalen funktionen, wenn

x \to \infty

geht

hier suchst du den grenzwert für

x \to 0,

und setz mal in die funktion 0 ein, da müsst dir etwas komisches auffallen.
machts klick?

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15:32 Uhr, 14.02.2009

0 einsetzen darf ich ja nicht, weil man ja nicht durch 0 teilen darf. Ich dachte, wenn

x

gegen eine Zahl strebt, sprich

0,1,2

usw. dann kann ich

n

gegen unendlich streben lassen und die jeweilige zahl+1/n einsetzen für alle

x

. So wie ich es halt gemacht habe. Die Idee hab ich von "Olaf's" Filmchen.
Aber wie man merkt hab ich nicht wirklich Ahnung davon

: (

deadmanwalking aktiv_icon

15:36 Uhr, 14.02.2009

ja, null darfst du an sich nicht einsetzen, aber du willst ja den grenzwert haben, wenn

x

gegen null geht.... schau mal bei der angabe, was unterhalb des "lim" steht.

also, wenn du jetzt null einsetzen "würdest", kommt was raus?

daneis aktiv_icon

15:46 Uhr, 14.02.2009

Ich kann nur raten, weil ich keine Ahnung habe.... 0?

deadmanwalking aktiv_icon

15:51 Uhr, 14.02.2009

ja fast, wenn wir ein bisschen genauer sind, kommt

\frac{0}{0}

raus....
(was aber nicht 0 ergibt, es ist nicht definiert, durch null darf man nicht dividieren, also kommt auch nicht 0 raus....)+

und wenn du jetzt den grenzwert einer funktion für

x

gegen eine zahl ausrechnest, und diese zahl eingesetzt gibt entweder

\frac{0}{0}

oder unendlich durch unendlich dann (und nur dann) kann man die regel von de l'hopital anwenden, die besagt, dass....?

(wenn keine ahnung, dann sagen, dann schreib ich weiter :-)

daneis aktiv_icon

15:54 Uhr, 14.02.2009

. .

. ich die Ableitungen von Nenner und Zähler bilden kann.

Aber wie solls weitergehen? :-)

deadmanwalking aktiv_icon

16:00 Uhr, 14.02.2009

genau, die beiden ableitungen (aber nicht wie bei der quotientenregel, sondern einfach jedes einzeln für sich)

so, jetzt hast du die ableitungen, setzt wieder 0 ein

entweder es kommt jetzt ein wert heraus, dann ist das dein gesuchter grenzwert

oder es kommt wieder

\frac{0}{0}

heraus, dann spielen wir das ganze nocheinmal und leiten nochmals zähler und nenner ab.

dann immer so weiter.
du bist fertig, wenn ein sinnvoller ausdruck herauskommt, der dann dein grenzwert ist.

soweit klar?

daneis aktiv_icon

16:13 Uhr, 14.02.2009

Wiso keine Quotientenregel?

Also wenn ich das richtig verstanden habe: wenn ich die Zahl, gegen die

x

strebt (sei es 0 oder 1 oder sonst eine)in die Fnkt. einsetze und oben und unten würde theoretisch 0 rauskommen, dann kann ich hospital anwenden?

Wie kann ich denn dann, wenn ich

z . B

. bei

b) 3^{x} - 2^{x}

ableite und

ln 3 \cdot 3^{x}

und

ln 2 \cdot 2^{x}

herausbekomme, das ohne Taschenrechner ausrechnen?

Danke schonmal für die Hilfe, bist ja richtig fleißig hier im Forum :-)

deadmanwalking aktiv_icon

17:49 Uhr, 14.02.2009

naja bei der quotientenregel würdest du ja folgendermaßen ableiten:

(\frac{f (x)}{g (x)})' = \frac{f' (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g' (x)}{{g (x)}^{2}}

bei der regel von de l'hoptial leitest du einfach nur oben und unten ab, also

\frac{f' (x)}{g' (x)}

genau, also immer wenn

\frac{0}{0}

oder unendlich durch unendlich rauskommt

\to

hopital, genauso wie du

s

gesagt hast.

ohne taschenrechner:

ln 3 \cdot 3^{x}

für

x \to 0 :

3^{0}

gibt

1,

also einfach

ln 3

.

selbiges bei dem zweiten.

grüße

daneis aktiv_icon

19:07 Uhr, 14.02.2009

Wärs möglich wenn du mir die Aufgaben mal vorrechnest? Ich glaube dann fällt es mir leichter nachzuvollziehen. Wenn nicht ist auch

i . O .,

aber ich würde mich sehr freuen.

Danke schonmal auch für die vorherige Hilfe!!

Greetz

deadmanwalking aktiv_icon

19:24 Uhr, 14.02.2009

also:

ich lass jetzt das

x \to 0

beim

lim

immer weg, ok?

lim \frac{x - sin (x)}{x^{3}} = lim \frac{1 - cos (x)}{3 x^{2}} = lim \frac{sin (x)}{6 x} = lim \frac{cos (x)}{6} = \frac{1}{6}

warum ich das jetz sooft abgeleitet habe hat den grund, dass es vor dem letzten

lim

immer

\frac{0}{0}

gäbe.

beim letzten, den mit

\frac{cos (x)}{6}

gibt es, wenn du null einsetzt,

\frac{1}{6},

und di regel von de l'hopital besagt, dass dieser limes auch der limes der vorhergehenden funktionen ist.

grüße

deadmanwalking aktiv_icon

19:32 Uhr, 14.02.2009

zweites beispiel:

lim \frac{3^{x} - 2^{x}}{x} = lim \frac{3^{x} \cdot ln (3) - 2^{x} \cdot ln (2)}{1} = ln (3) - ln (2) \approx 0,405465

pepe1 aktiv_icon

19:49 Uhr, 14.02.2009

<?import namespace = m implementation = "#mathplayer" declareNamespace />

0)(x-sin(x))/x^3=lim_(x->0)(1-cos(x))/(3x^2)=lim_(x->0)sin(x)/(6x)=lim_(x->0)cos(x)/6=1/6 "> lim_{x \to 0} \frac{x - sin (x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{1 - cos (x)}{3 x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{sin (x)}{6 x} = lim_{x \to 0} \frac{cos (x)}{6} = \frac{1}{6}

0)(3^x-2^x)/x=lim_(x->0)(ln3*3^x-ln2*2^x)/1=ln3-ln2 "> lim_{x \to 0} \frac{3^{x} - 2^{x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{ln 3 \cdot 3^{x} - ln 2 \cdot 2^{x}}{1} = ln 3 - ln 2

daneis aktiv_icon

20:26 Uhr, 14.02.2009

Danke für die Lösungen!!

Ich hätte noch eine allgemeine Frage: So wie ich das jetzt gesehen habe kann ich, wenn

x

gegen irgendeine Zahl strebt, einfach die Zahl, gegen die

x

strebt, in den Term einsetzen und somit weiterrechnen? Oder gilt das nur bei L'Hospital? Was soll ich denn jetzt von der Vorgehensweise von Olaf bei "Oberprima" halten?

Wie soll ich mich also allgemein bei Aufgaben, bei denen ein Grenzwert zu bestimmen ist verhalten?

Bin da ein wenig verwirrt.

Wenn mir jemand einen Tip geben könnte würde ich mich sehr freuen.

Greetz

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