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Höhere Ableitungen

Schüler Gymnasiale Oberstufe,

Tags: Ableitung

Melflower aktiv_icon

09:19 Uhr, 11.01.2017

Hallo,
Ich komme mit einer Aufgabe leider nicht weiter bzw. Ich bin mir unsicher, ob meine Rechnung richtig ist.Ich sollte die 1. Und 2. Ableitung dieser Funktion bilden mithilfe der höheren Ableitungsregeln.Die Funktion lautet :

\frac{1}{4} \sqrt{x} \times (9 - x)

Meine 1. Ableitung :

\frac{1}{8} x^{- 0, 5} \times (9 - x) + \frac{1}{4} x^{0, 5}

Meine 2. Ableitung :

\frac{- 1}{16} x^{- 1, 5} \times (9 - x) + \frac{1}{8} x^{- 0.5}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Respon

09:30 Uhr, 11.01.2017

Verwende das Multiplikationszeichen "*" um Missverständnisse zu vermeiden.
Ist es so ?

f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{x} \cdot (9 - x)

Wenn ja, dann ist deine erste Ableitung nicht richtig.

Respon

09:42 Uhr, 11.01.2017

Und ? Alles klar ?
Wenn ja, dann Beispiel "abhaken" !

anonymous

15:29 Uhr, 11.01.2017

"Wenn ja, dann ist deine erste Ableitung nicht richtig."

Wäre ja auch nett gewesen, dem Fragesteller direkt zu erklären, dass er lediglich die

(- 1)

ganz am Ende vergessen hat, bzw. bei

v'

das

(9 - x)

falsch zu 1 und nicht zu

(- 1)

abgeleitet hat.

Ansonsten ist ja alles richtig, also

u' v + u

stimmt. Nur

v' = - 1

wurde vergessen, bzw. nicht gesehen..

PS: Bei der zweiten Ableitung sind dann Folgefehler, klar..

Roman-22

15:53 Uhr, 11.01.2017

>

Wäre ja auch nett gewesen, dem Fragesteller direkt zu erklären,
Ich bin mir nicht sicher, ob das wirklich nett gewesen wäre. Auf jeden Fall wäre es für Respon bequemer gewesen, einfach den Fehler auszubessern und die richtige Lösung anzugeben, als sich auf eine längeres Support"gespräch" einzurichten.

Netter (aber auch aufwändiger) ist es allemal, dem Fragesteller die Gelegenheit zu geben, selbst auf einen Fehler draufzukommen und ihn nur gezielt zu leiten und bei Bedarf weitere Hilfestellung zu geben. So wäre dann auch ein nachhaltiger Lerneffekt zu erzielen und dem Wunsch nach "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." zu entsprechen. Ob dieser Wunsch ehrlich gemeint war, wenn sich ein Fragesteller nach über sechs Stunden immer noch nicht um seine Anfrage kümmert, ist zwar fraglich. Jedenfalls wird eine Zusammenarbeit dadurch für beide Seiten sehr mühsam. Anfragen, die auf eine Zusammenarbeit hinauslaufen, sollte man nur stellen, wenn man in den nächsten Stunden auch Zeit dazu hat und nicht nach

10

Minuten (da war den Respons erste Antwort schon da) wieder weg ist. Sonst läuft man Gefahr, als jemand eingestuft zu werden, der nur mal schnell eine Aufgabe reinstellt und nach einigen Stunden die fertige Lösung abernten möchte.

>

PS: Bei der zweiten Ableitung sind dann Folgefehler, klar..
Wenns nur das wäre! Da ist auch ein gewaltiger neuer Fehler drin! Umso wichtiger scheint es nun, anhand der ersten Ableitung mal zu sondieren, ob sich vielleicht systematische Fehler beim Einlernen der Produktregel eingeschlichen haben.

Melflower aktiv_icon

16:44 Uhr, 11.01.2017

Als erstes einmal môchte ich mich bei allen für ihre Antwort bedanken. Als zweites tut es mir sehr leid , dass ich nicht so schnell antworten könnte,jedoch kann ich nichts dafür, dass mein Internetanschluss nicht funktioniert hat und ich bei meinem Internetanbieter 2 Stunden in der Warteschleife warten musste und somit das Problem erst jetzt gelöst wurde.Dennoch tut es mir sehr Leid. Außerdem tut es mir auch Leid, dass ich Fehler gemacht habe, jedoch musste ich mir das Thema selber beibringen, da ich in der Stunde als das erklàrt würde krank war und der Text im Mathebuch ist leider nicht so informativ.
Ich würde es gerne nochmal versuchen und hoffen, dass mir jemand weiterhelfen kann :
Erste Ableitung :

\frac{1}{8} x^{- 0, 5} * (9 - x) + \frac{1}{4} x^{0, 5} * (- 1)

2.Ableitung:

{\frac{- 1}{16}}^{- 1, 5} * (9 - x) + \frac{1}{8} * x^{- 0, 5} * (- 1)

Roman-22

16:56 Uhr, 11.01.2017

>

Außerdem tut es mir auch Leid, dass ich Fehler gemacht habe
Das muss es nicht. Würdest du keine Fehler machen, müsstest du nicht hier posten ;-)

Deine erste Ableitung ist nun richtig und ich hoffe, du weißt auch warum.
Aber bei der zweiten Ableitung hast du den gleichen Fehler gemacht wie beim ersten Mal (das vergessene

x

mein ich jetzt nicht, das war vorhin ja da).
Der erste Summand, den du ableiten möchtest, lautet

\frac{1}{8} \cdot x^{- 0,5} \cdot (9 - x)

.
Wie lautet denn davon tatsächlich die Ableitung? So wie es da steht musst du doch wieder die Produktregel anwenden und das hast du offenbar nur zur Hälfte gemacht.

Im übrigen hättest du bei der ganzen Aufgabe vermutlich viel weniger Probleme, wenn du die Angabe erst mal ausmultiplizierst. Dann benötigst du nämlich nur noch die einfache Potenzregel und keine Produktregel mehr.

Versuche es aber übungshalber ruhig auf beide Arten, denn irgendwann wirst du die Produktregel ja doch benötigen und musst sie daher auch sicher beherrschen.

Melflower aktiv_icon

17:07 Uhr, 11.01.2017

2.Ableitung :

\frac{- 1}{16} * x^{- 1, 5} * 1 * (9 - x)^{2} + \frac{1}{8} * x^{- 1, 5}

Roman-22

17:34 Uhr, 11.01.2017

>

2.Ableitung :
Wovon jetzt genau?
Scheint falsch zu sein!
Gib bitte detailliert an, was du meinst gerechnet zu haben, welche Regel du wo glaubst angewandt zu haben.
Mit den Endergebnissen allein werden wir nicht draufkommen, welchen Denkfehler du machst.

Melflower aktiv_icon

17:49 Uhr, 11.01.2017

Also ich wollte das ableiten (als 2.Ableitung der Grundfunktion) :

\frac{1}{8} x^{- 0, 5} * (9 - x) + \frac{1}{4} x^{0, 5} * (- 1)

So die Produktregel lautet u'+v'
U' lautet :

\frac{- 1}{16} x^{- 1, 5} * (- 1) * (9 - x)^{2}

V zusammengefasst :

\frac{- 1}{4} * x^{- 0, 5}

V' lautet:

\frac{1}{8} * x^{- 1, 5}

Somit wäre die Ableitung insgesamt :

\frac{- 1}{16} x^{- 1, 5} * (- 1) * (9 - x)^{2} + \frac{1}{8} * x^{- 1, 5}

Roman-22

18:14 Uhr, 11.01.2017

>

So die Produktregel lautet

u' + v'

Also das ist noch überhaupt keine Regel, das ja nicht da steht, was das sein soll.
Und mit der Produktregel hat das nix zu tun. Es ist eher die Summenregel, die besagt, dass man bei einer Summe von Funktionen einfach jede einzeln ableiten darf

\to (u + v)' = u' + v'

> U'

lautet

: - 116 x - 1,5 \cdot (- 1) \cdot (9 - x) 2

Jetzt kommt da bei der Klammer plötzlich auch noch ein Quadrat dazu?
Außerdem ist die Aussage

u'

lautet

. .

. wertlos, wenn du nicht verrätst, was dein

u

sein soll.
Aber ich ahne, dass es der erste Summand sein soll und dass du in Wirklichkeit die Summenregel anwendest. Leider ist aber dann dein

u'

falsch und ich habe vorhin schon vorgeschlagen, dass wir diesen Term mal allein betrachten, da ja schon ersichtlich war, dass du dabei Probleme hast.

Also mal losgelöst von deiner eigentlichen Aufgabe. Die Funktion

g (x) = \frac{1}{8} \cdot x^{- 0,5} \cdot (9 - x)

ist nach

x

abzuleiten und zwar nach der Produktregel, also ohne vorher auszumultiplizieren (was natürlich wie oben angemerkt einfacher wäre).

Beachte dabei bitte die wirkliche Produktregel:

(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'

Gib an, was du als

u

und was du als

v

nimmst, wie die Ableitungen

u'

und

v'

aussehen und setze dann richtig zusammen!
Was ist

g' (x)

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18:39 Uhr, 11.01.2017

\frac{1}{8} * x^{- 0, 5} = u

(9 - x) = v

U' :

\frac{- 1}{16} * x^{- 1, 5}

V' :

- 1

Ableitung :

\frac{- 1}{16} * x^{- 1, 5} * (9 - x) + \frac{1}{8} * x^{- 0, 5} * (- 1)

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18:49 Uhr, 11.01.2017

Wäre das dann die Ableitung der Aufgabenstellung (also von

\frac{1}{8} x^{- 0, 5} * (9 - x) . . . . .) :

\frac{- 1}{16} * x^{- 1, 5} * (9 - x) + \frac{1}{8} * x^{- 0, 5} * (- 1) + \frac{1}{8} * x^{- 0, 5}

anonymous

20:23 Uhr, 11.01.2017

Hoi,

Die zweite Ableitung stimmt fast^^

Vorne hast Du richtig die Produktregel angewendet, aber hinten fehlt nun wieder (das?) Minuszeichen..

die erste Ableitung war ja

f' (x) = ... . . + \frac{1}{4} x^{0,5} \cdot (- 1)

f' (x) = ... . . - \frac{1}{4} x^{0,5}

dann ist die zweite Ableitung hinten

f'' (x) =

PRODUKTREGEL

... - \frac{1}{8} x^{- 0,5}

Ansonsten stimmt jetzt alles!

PS: Dass

x

und

- x

von Schülern oft falsch abgeleitet wird, bzw. auch insbesondere die Innere Ableitung der Kettenregel vergessen wird, veranlasst mich nicht, meinen Schülern bei Rückfragen zur Produktregel ein trockenes "Alles falsch, und schließ den Thread bitte" reinzudrücken - besonders wenn

u', v, u

und

v'

mit besagter Ausnahme richtig sind. Dem Schüler (mindestens) zu suggerieren, er könne die Produktregel nicht, halte ich dann einfach für falsch..

Roman-22

20:31 Uhr, 11.01.2017

Die Produktregel hast du jetzt richtig angewandt (wo lagen da ursprünglich die Schwierigkeiten?), aber bei der gesamten zweiten Ableitung aus deine originalen Aufgabenstellung hast du nicht beachtet, dass der letzte Term mit

(- 1)

multipliziert wurde.

Also hast du mit

f (x) = \sqrt{x} \cdot (9 - x)

f'' (x) = - \frac{1}{16} \cdot x^{- 1,5} \cdot (9 - x) + \frac{1}{8} \cdot x^{- 0,5} \cdot (- 1) + \frac{1}{8} \cdot x^{- 0,5} \cdot (- 1)

Das lässt sich nun kräftigst zusammenfassen (und das sollte man im eigenen Interesse immer schon viel früher machen):

f'' (x) = - \frac{1}{16} \cdot x^{- 1,5} \cdot (9 - x) - \frac{1}{4} \cdot x^{- 0,5} = - \frac{1}{16} \cdot (x^{- 1,5} \cdot (9 - x) + 4 \cdot x^{- 0,5}) =

= - \frac{1}{16} \cdot (9 \cdot x^{- 1,5} - x^{- 0,5} + 4 \cdot x^{- 0,5}) = - \frac{1}{16} \cdot (9 \cdot x^{- 1,5} + 3 \cdot x^{- 0,5}) =

= \frac{- 3 \cdot x^{- 1,5} \cdot (3 + x)}{16} = \frac{- 3 \cdot (3 + x)}{16 \cdot x \cdot \sqrt{x}} = \frac{- 3 \cdot \sqrt{x} \cdot (3 + x)}{16 \cdot x^{2}}

Einfacher gehts mit

f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{x} \cdot (9 - x) = \cdot \frac{1}{4} x^{0,5} \cdot (9 - x) = \frac{9}{4} \cdot x^{0,5} - \frac{1}{4} \cdot x^{1,5}

f' (x) = \frac{9}{8} \cdot x^{- 0,5} - \frac{3}{8} \cdot x^{0,5}

f'' (x) = - \frac{9}{16} \cdot x^{- 1,5} - \frac{3}{16} \cdot x^{- 0,5} = - \frac{9}{16 \cdot x \cdot \sqrt{x}} - \frac{3}{16 \cdot \sqrt{x}} = . .

w . o

Roman-22

20:45 Uhr, 11.01.2017

@Imap

>

"Alles falsch, und schließ den Thread bitte" reinzudrücken
Das hab ich ja auch nie gesagt und Respons Vorschlag, den Thread abzuhaken, wenn nun doch alles klar ist (es gab keine zeitnahe Reaktion auf ihre Antwort obwohl ein gemeinsames Erarbeiten erwünscht wurde) war eben nur ihre Reaktion auf die Nichtreaktion. Außerdem war doch das Angebot, Frage zu beantworten deutlich da. Auf "Alles klar ?" kann man auch mit "nein" antworten und eine Frage stellen, wenn man nicht selbst auf den Fehler in der Ableitung gekommen ist.

> -

besonders wenn u′,v,u und v′ mit besagter Ausnahme richtig sind.
Das kann ein Flüchtigkeitsfehler sein (dürfte es hier aber nicht gewesen sein), kann aber auch auf grundlegende Verständnisprobleme hindeuten. Und das kann man eben nur durch den Dialog und nicht durch Hinwerfen der Lösung herausfinden und kurieren.

>

Dem Schüler (mindestens) zu suggerieren, er könne die Produktregel nicht, halte ich dann einfach für falsch..
Niemandem wurde etwas "suggeriert" aber wie sich rausgestellt hatte, lag das Problem ja scheinbar tatsächlich systemisch bei der Anwendung der Produktregel, die dann auch noch mit der Summenregel durcheinander gebracht wurde. Ganz klar wurde nie, wo das Problem konkret lag, da die Fragestellerin immer nur neue, falsche Ergebnisse nachgeschoben hatte. Und da hilft nicht vorrechnen sondern beharrliches Nachfragen und die Forderung, die Rechenschritte detailliert anzugeben, was hier ja zumindest zum Teil geklappt hat.
Der Zwang zum systematischen Arbeiten und die Vorgabe der Produktregel hatte dann letztlich doch (bis auf das letzte Vorzeichen) zum Ergebnis geführt.

Melflower aktiv_icon

21:03 Uhr, 11.01.2017

Also das Problem lag bei mir ,da ich mich echt blöd angestellt habe.Trotzdem habe ich alles verstanden und bedanke mich bei allen die mir geholfen haben. Ich hätte von Anfang an ( also ab der 1.Ableitung) alles zusammenfassen sollen, da ich so einen besseren Überblick über die Funktion hätte .Aber alles in allem,bedanke ich mir herzlichst bei allen.

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