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In welchen punkten hat der graph der sinusfunktion

Schüler Gymnasium,

Tags: Kosinus, Kurvenuntersuchung, Sinus, Steigung, Tangens

anonymous

08:30 Uhr, 12.05.2014

In [0; 2pi] eine steigung wie a) die 1. Winkelhalbierende, b) die x-achse, c) die gerade mit der gleichung y=0.5x?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
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Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
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Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

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funke_61 aktiv_icon

08:54 Uhr, 12.05.2014

Es geht um

f (x) = sin (x)

Kennst Du schon die 1. und die 2. Ableitung der Sinusfunktion?
Hast Du schon eine Skizze im angegebenen Intervall

[0; 2 π]

gemacht?
(Wir hatten damals eine Schablone für diese Sinusfunktion

...)

;-)

Femat aktiv_icon

09:18 Uhr, 12.05.2014

Die erste Ableitung gibt ja grad die Steigung.
Winkelhalbierende hat Steigung 1 Lös.

A, B

x-Achse hat Steigung 0 Lös

C, D

Gerade hat Steigung

0.5

Lös.

H, E

anonymous

11:35 Uhr, 12.05.2014

f'(x)=cos (x)
f''(x)=-sin (x)

Wir haben keine schablone.. wie kann man sinus zeichnen? Wo hat sie ihre punkte?

anonymous

11:42 Uhr, 12.05.2014

Was soll ich machen, nachdem ich sinus in ein koordinatensystem bezeichnet hab? Muss man diese Aufgabe zeichnerisch lösen? Also einfach die punkte dann ablesen? Oder muss man noch was rechnen?

funke_61 aktiv_icon

11:45 Uhr, 12.05.2014

Zeichnung ist oben in Femats Post eingefügt.

a)

gleiche Steigung wie 1. Winkelhalbierende:

y = x \Rightarrow m = 1

\Rightarrow cos x = 1

\Rightarrow x_{1} = 0, x_{2} = 2 π

im Intervall

[0; 2 π]

b)

gleiche Steigung wie x-Achse

: y = 0 \Rightarrow m = 0

\Rightarrow cos x = 0

\Rightarrow x_{3} = \frac{π}{2}, x_{4} = \frac{3 π}{2}

im Intervall

[0; 2 π]

c)

gleiche Steigung wie

: y = \frac{1}{2} x \Rightarrow m = \frac{1}{2}

\Rightarrow cos x = \frac{1}{2}

\Rightarrow x_{5} = \frac{π}{3}, x_{6} = \frac{5 π}{3}

im Intervall

[0; 2 π]

Diese speziellen Werte kannst Du auch in Femats Post ablesen.
Am besten merkt man sich diese Werte, bzw. schaut sie in entsprechenden Tabellen nach.
;-)

anonymous

12:09 Uhr, 12.05.2014

Danke :-) Die punkte mit xachse und winkelhalbierende verstehe ich, aber wie sieht man das bei der geraden?

funke_61 aktiv_icon

12:11 Uhr, 12.05.2014

c)

y = \frac{1}{2} x

ist eine Ursprungsgerade mit Steigung

m = \frac{1}{2}

klar soweit?

anonymous

15:43 Uhr, 13.05.2014

Jap alles klar soweit, sorry ich konnte die ganze zeit nicht richtig auf die seite zugreifen:/

anonymous

15:44 Uhr, 13.05.2014

Wie geht es dann weiter?

funke_61 aktiv_icon

09:47 Uhr, 14.05.2014

Deine Aufgabe
"In

[0; 2 π]

eine steigung wie

a)

die 1. Winkelhalbierende,

b)

die x-achse,

c)

die gerade mit der gleichung y=0.5x?"
ist für die Funktion

f (x) = sin x

mit meinem Beitrag von

11 : 45

Uhr,

12.05.2014

komplett gelöst.
Die entsprechenden Punkte kannst Du in Femats Zeichnung finden.
;-)

anonymous

21:04 Uhr, 14.05.2014

Ich habe nur noch eine allerletzte frage, den ersten xwert konnte man ja durch arccos(0,5) berechnen, wie aber weiss man den zweiten xwert?:(

Gwunderi aktiv_icon

00:47 Uhr, 15.05.2014

Musste auch etwas überlegen …

In

[0; 2 π]

ist die Funktion f(x) = sin(x) punktsymmetrisch zum Punkt

π

auf der x-Achse.

Eine Lösung ist arccos(0,5) =

\frac{π}{3}

Vom Punkt

π

aus also:

π - \frac{2}{3} π

Also ist der 2. Punkt mit derselben Steigung bei

π + \frac{2}{3} π = \frac{5}{3} π

.

Das wird wohl die korrekte Erklärung sein?

anonymous

06:29 Uhr, 15.05.2014

Wenn das die korrekte und einzige Erklärung ist, dann bin ich zufrieden^^ vielen dank :-)

funke_61 aktiv_icon

08:55 Uhr, 15.05.2014

Man kann es auch am "Einheitskreis" (heisst so, weil er den Radius "eine Einheit" hat) erklären:
Schau Dir zunächst diesen Link an:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Einheitskreis_Ani.gif

Zeichne nun einen Kreis (zB. mit dem Radus 5cm (5cm soll "einer Einheit" entsprechen) um den Ursprung eines Koordinatensystems.
(Dieser Kreis hat den Umfang

2 π,

wenn der Radius "1" ist, also "einer Einheit" entspricht. Rechne bitte nach, wenn Du es nicht glaubst.)
Winkel werden immer von der x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen.
Zeichne nun den Winkel

\frac{π}{3}

(entspricht 60°) ein: Zeichne also eine Gerade durch den Ursprung, die zur x-Achse den Winkel 60° einschließt.
Wo sich diese Gerade mit dem Kreisumfang im 1. Quadranten schneidet, ist der Punkt

A

(Punkt

A

ist im Bogenmaß

(d . h

. "auf dem Kreisumfang des Einheitskreises") genau

\frac{π}{3}

von Punkt

(1 | 0)

entfernt.)
Fälle das Lot von A auf die x-Achse und verlängere dieses Lot bis auf den Kreisumfang im 4. Quadranten. Dieser Schnittpunkt sei Punkt B.
(Punkt

B

ist im Bogenmaß

(d . h

. "auf dem Kreisumfang des Einheitskreises") genau

\frac{5 π}{3}

von Punkt

(1 | 0)

entfernt. Wenn man negative Winkel zulässt, hat er den Wert

(- \frac{π}{3})

bzw. -60° )

cos (\frac{π}{3})

ist nun genau die Strecke auf der x-Achse vom Ursprung bis zum Lot

\bar{A B}

(miss bitte nach, es sind

0,5

Einheiten)

cos (\frac{5 π}{3})

hat den gleichen x-Wert

0,5

Wenn Du dies nachvollziehen kannst, schau Dir mal diesen Link an:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Einheitskreis_mit_Sinus_und_Kosinusfunktion.gif

;-)

Gwunderi aktiv_icon

11:15 Uhr, 15.05.2014

Stimmt, ist eine andere Erklärung (korrekt sind ja beide).

Am Einheitskreis lässt sich eh manches schön und anschaulich erklären. Habe auch noch ein Bild dazu geladen.
Der cos ist der rote Abschnitt, und da sieht man schön, dass er genau bei 60° und bei -60° denselben Wert hat, bzw. bei

\frac{π}{3}

und bei

2 π - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3}

funke_61 aktiv_icon

13:04 Uhr, 15.05.2014

@Gwunderi: Dankeschön, genau dieser Hinweis fehlt in meinem letzen Beitrag :-)

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