Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kettenregel bei der Partiellen Ableitung

Kettenregel bei der Partiellen Ableitung

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Ableitung, Kettenregel, Partielle Differentialgleichungen

AlterFalter aktiv_icon

17:03 Uhr, 31.01.2015

Hallo,

eigentlich gibt es schon tausend Fragen zu dem Thema, aber ich habe mein Problem nicht gefunden.

Ich habe folgende Gleichung

f (x, y) = x (y - 1) * e^{- x^{2} - y^{2}}

welche ich nun partiell nach

f x, f x x, f y, f y y, f x y

ableiten möchte.
Eigentlich kein Problem.

Aber bei der Kettenregel hatte ich das Problem, dass ich das in der Klammer nachdifferenzieren muss.
Beim ersten Teil heißt das

f x = x (y - 1)

.
Wie verfahre ich nun, weil wenn ich die Klammer nachdifferenziere kommt dann 0 raus oder?
Denn y wird als konstanter Faktor angesehen und fällt weg.

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableiten mit der Kettenregel

Wie leitet man mit der Kettenregel ab?

Wie leitet man verkettete Funktionen ab?

Ableiten mit der Produktregel

Wie leitet man mit der Produktregel ab?

Wie leitet man das Produkt zweier Funktionen ab?

Ableiten mit der Quotientenregel

Wie leitet man mit der Quotientenregel ab?

Wie leitet man den Quotienten zweier Funktionen ab?

Ableiten von Exponentialfunktionen

Wie leitet man Exponentialfunktionen ab?

Ableiten von Logarithmusfunktionen

Wie leitet man Logarithmusfunktionen ab?

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der Winkelfunktionen?

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen?

Ableitung einer Polynomfunktion

Wie bestimmt man die Ableitung einer Polynomfunktion?

Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten

Wie bestimmt man die Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten?

Ableitung einer Summe zweier Funktionen

Wie bestimmt man die Ableitung einer Summe zweier Funktionen?

Ableitung eines Vielfachen einer Funktion

Wie bestimmt man die Ableitung eines Vielfachen einer Funktion?

Differenzenquotient berechnen

Wie wird der Differenzenquotient berechnet?

Differenzialquotient berechnen

Wie wird der Differenzialquotient berechnet?

Graph der 1.Ableitung und der Ausgangsfunktion

Wie hängt der Graph der 1.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Graphen der 1. und 2.Ableitung und Graph der Ausgangsfunktion

Wie hängen die Graphen der 1. und 2.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Herleitung: Ableitung der Kosinusfunktion

Wie leitet man die Kosinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Sinusfunktion

Wie leitet man die Sinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Tangensfunktion

Wie leitet man die Tangensfunktion ab?

Steckbriefaufgaben (mit Ableitung)

Wie löst man Steckbriefaufgaben?

Edddi aktiv_icon

17:21 Uhr, 31.01.2015

Bei der

p

. Ableitung nach

x

ist nicht nur

y

konstant sondern somit auch der gesamte Term

(y - 1)

.

:-)

AlterFalter aktiv_icon

17:24 Uhr, 31.01.2015

heißt dass das alles mit 0 nachdifferenziert wird oder kommt dann

(y - 1)

raus?
Ich verstehe es noch nicht ganz.

Edddi aktiv_icon

17:36 Uhr, 31.01.2015

. .

. ich weiß nicht was du meinst?

Es ist:

\frac{δ f}{δ x} = (y - 1) \cdot e^{- x^{2} - y^{2}} - 2 \cdot x^{2} \cdot (y - 1) \cdot e^{- x^{2} - y^{2}} = (1 - 2 \cdot x^{2}) \cdot (y - 1) \cdot e^{- x^{2} - y^{2}}

Hier benötigst du also Produkt und Kettenregel.

Leitest du jetzt nochmal nach

x

ab, so bleibt

(y - 1)

als konst. Faktor erhalten:

\frac{δ f^{2}}{δ x^{2}} = (y - 1) \cdot [...]'

Leitest du nun aber nach

y

ab, bleibt der Term

(1 - 2 \cdot x^{2})

als Faktor stehen:

\frac{δ f^{2}}{δ x δ y} = (1 - 2 \cdot x^{2}) \cdot [...]'

:-)

AlterFalter aktiv_icon

17:50 Uhr, 31.01.2015

danke, mir bereitet nur der Teil mit x(y-1) Kopfzerbrechen.

wenn ich den teil nach x ableite, dann habe ich das hier vor Augen

f (x) = g (h (x)) \to f' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x)

Also habe ich die folgenden Funktionen:

Äußere Funktion:

g (v) = v^{1} \to g' (v) = v^{0}

Innere Funktion:

h (x, y) = y - 1

→

h x = 0

und

h y = 1

Wäre dann bei mir

f x = x (y - 1)^{0} * 0

bzw.

f y = x

Wo liegt mein Denkfehler bei fx, weil fy scheint ja zu stimmen.

MfG

rundblick aktiv_icon

17:50 Uhr, 31.01.2015

f (x, y) = x \cdot (y - 1) \cdot e^{- x^{2} - y^{2}}

Variante:

warum schreibst du das nicht einfach so

: \to

f (x, y) = [x \cdot e^{- x^{2}}] \cdot [(y - 1) \cdot e^{- y^{2}}] = u (x) \cdot v (y)

bei der partiellen Ableitung zB nach

x

spielt

v (y)

die Rolle einer Konstanten

\to f_{x} = \frac{d u}{d x} \cdot v (y)

... .

= (1 - 2 x^{2}) \cdot e^{- x^{2}} \cdot v (y)

... .

= (1 - 2 x^{2}) \cdot e^{- x^{2}} \cdot (y - 1) \cdot e^{- y^{2}}

usw,usw..

AlterFalter aktiv_icon

17:54 Uhr, 31.01.2015

Okay, das ist auch eine gute Lösung, aber ich möchte gerne meinen Denkfehler nachvollziehen.
Weil irgendwie habe ich eine Regel nicht richtig ausgeführt und ich möchte gerne wissen welche es ist (siehe letzte Antwort)

MfG

Avant25 aktiv_icon

18:03 Uhr, 31.01.2015

Du trennst das Produkt bei den partiellen Ableitungen.
Du lässt bei der Ableitung nach

x

das

x

außen vor weil es vor der Klammer steht und leitest nur

y - 1

nach

x

ab, was dann 0 wäre. Aber wenn du folgendes betrachtest, merkst du den Fehler: x(y-1)=xy-x... Das ist dann nach

x

abgeleitet wieder

y - 1

. weißt du was ich meine?

AlterFalter aktiv_icon

18:09 Uhr, 31.01.2015

Ach bin ich doof... natürlich!

Vielen Dank!

1214821

1214801

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?