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Kettenregel für mehrdimensionale Räume

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung, Differentiation, Kettenregel, Partielle Ableitung, stetig differenzierbar

KTest00 aktiv_icon

12:39 Uhr, 12.06.2018

Hallo,

ich habe im Moment die Aufgabe im Anhang vor mir.

Ich bin aktuell etwas verwirrt, was genau ich hier machen soll.

Ich habe ja quasi die Funktion

f = (u (x, y), v (x, y))

, also für die erste Komponente

(f \circ u) (x, y)

und für die zweite

(f \circ v) (x, y)

.

Jetzt bin ich mir aber unsicher, wie ich die Kettenregel hier anwenden muss.

Ich hätte für die erste Ableitung

f_{x}

raus, dass

f_{x} = f_{u} \cdot u_{x} + f_{v} \circ v_{x}

- aber ich glaube nicht, dass dies richtig ist.
Außerdem: Wie kann ich denn

f

nach

u

und nach

x

ableiten?
Und selbst wenn dies oben richtig wäre, wie fahre ich hier fort?

Es wäre nett, wenn hier jemand etwas Licht ins Dunkel bringen könnte und mir vielleicht einen Ansatz oder eine Erklärung zur (a) liefern könnte, sodass ich dann (b) und (c) alleine versuchen kann.

Danke schonmal für die Hilfe!

VG KTest00

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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korbinian aktiv_icon

15:49 Uhr, 12.06.2018

Hallo,
dass du verwirrt bist, wundert mich nicht. Ich finde die Aufgabe auch unübersichlich gestellt; es sei denn, ihr habt das in der Vorlesung so eingeführt. Die Aufgabe ist so zu verstehen:
Gegeben eine Funktion

f : ℝ^{2} \to ℝ

und die Funktion

g : ℝ^{2} \to ℝ^{2}

Man bezeichnet nun oft die Koordinaten in den beiden "Exemplaren" des

ℝ^{2}

unterschiedlich. Und zwar links mit x und y; rechts mit u und v.
Dem entsprechend bezeichnet der Aufgabensteller nun die beiden Komponenten der Funktion g auch mit u und v.
Betrachte nun die Verkettung

f ○ g : ℝ^{2} \to ℝ

und wende darauf die Kettenregel an.
gruß
korbinian

KTest00 aktiv_icon

19:44 Uhr, 12.06.2018

Danke schonmal.

Soll ich jetzt quasi die Ableitung der Funktion

h (x, y) = ((f \circ u) (x, y), (f \circ v) (x, y))

berechnen oder habe ich das immernoch falsch verstanden?

korbinian aktiv_icon

00:10 Uhr, 13.06.2018

Hallo,
wenn du mit h die Verkettung

f ○ g

meinst bist du auf dem richtigen Weg. Beginne mit deren partiellen Ableitungen.
Allergings kannst du h nicht so h(x,y)=((f∘u)(x,y),(f∘v)(x,y)) schreiben.
h "landet" in

ℝ

. h kann also nicht 2 Komponenten haben.
f "startet" in

ℝ^{2}

, braucht also 2 Argumente.
Halte dir immer vor Augen:

h = f ○ g : ℝ^{2} \to ℝ^{2} \to ℝ

gruß
korbinian

KTest00 aktiv_icon

09:46 Uhr, 13.06.2018

Hallo,

danke schonmal für deine Mühe :-)

Aber von welchem g redest du denn denn genau?

Sorry, falls ich mich gerade echt dumm dran stelle ;-)

korbinian aktiv_icon

09:49 Uhr, 13.06.2018

hallo,
g habe ich in meiner 1.Antwort erklärt.
gruß
korbinian

KTest00 aktiv_icon

09:59 Uhr, 13.06.2018

Ja,

g

ist eine Funktion

g : ℝ^{2} \to ℝ^{2}

, aber wo kommt diese denn her?
Diese kommt doch in der Aufgabenstellung gar nicht vor.

Kannst du mir vielleicht anhand der

(a)

einmal zeigen, wie du das meinst? :-)

Danke im Voraus für Rückmeldung :-)

korbinian aktiv_icon

10:21 Uhr, 13.06.2018

Hallo,
doch, sie kommt in der Aufgabenstellung (versteckt) vor. Dort ist doch f eine Funktion von u und v. u und v sind aber ihrerseits Funktionen von x und y. Der Zusammenhang zwischen den "Koordinaten" (x,y) und (u,v) wird durch eine Funktion, die ich g genannt habe, beschrieben.

g : ℝ^{2} \to ℝ^{2}; (x, y) \mapsto (u (x, y), v (x, y))

Wenn man diese Funktion nicht ins Spiel bringt, wüßte ich nicht wo eine Verkettung ist, auf die man die Kettenregel anwenden soll.
Vielleicht haben wir aber verschiedene Versione der Kettenregel vorliegen; dann zeig mal deine.
Um unsere Notationen zusammen zu bringen:
Es ist dann:

f_{x} = \frac{\partial (f ○ g)}{\partial x}

f_{u} = \frac{\partial f}{\partial u}

Kommen wir so zusammen?

P.S: Dein

f_{x}

in deiner 1. Frage ist fast richtig. Einmal

\cdot

einmal

○

passt nicht zusammen. Entscheide dich!
gruß
korbinian

KTest00 aktiv_icon

15:05 Uhr, 13.06.2018

Danke schonmal für die Erklärung :-)

Ich erhalte dann ja:

f_{x} = f_{u} \cdot u_{x} + f_{v} \cdot v_{x}

, richtig?

Und jetzt muss ich das nochmal nach

x

ableiten.

EDIT:

Habs doch!

Vielen Dank für die Hilfe und Erklärungen!

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