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Koeffizienten mit Berührstelle bestimmen

Schüler Gymnasium,

Tags: Ableitung, Berührpunkt, Koeffizient

RaiNz aktiv_icon

22:07 Uhr, 09.11.2015

Aufgabe:
Bestimmen Sie die Koeffizienten

a, b

so, dass sich die Schaubilder

K

von

f

und

G

von

g

an der Stelle

x = 1

berühren.

f (x) = 0,5 (x^{2} + 3);

g(x)=ax^2+bx

Ansatz:

f' (x) = 0,5 (2 x) = x

g'(x)=2ax+b

Berührstelle an

x = 1

f (1) = g (1)

f' (1) = g' (1)

f' (x) = g' (x); x = 1

x=2ax+b

1 = 2 a + b

1 - b = 2 a

\frac{1 - b}{2} = a

f (x) = g (x); x = 1

0,5(x^2+3)=ax^2+bx

0,5 (1^{2} + 3) = a 1^{2} + b 1

0,5 + 1,5 = a + b

2 - b = a

a = a

2 - b = \frac{1 - b}{2}

4 - 2 b = 1 - b

3 = b

Funktionswert an

x = 1

f (1) = 2

f (1) = g (1)

2 = a + 3

a = - 1

a = - 1

und

b = 3

Ist das so richtig? Und selbst wenn ja, gibt es eine schnellere Methode? Ich habe das gefühl, dass ich irgendetwas vergessen habe...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

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f' (x)

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pleindespoir aktiv_icon

23:36 Uhr, 09.11.2015

f (x) = 0, 5 (x^{2} + 3)

g (x) = a x^{2} + b x

f ʹ (x) = x

g ʹ (x) = 2 a x + b

f ʹ (x) = g ʹ (x)

x = 2 a x + b

0 = (2 a - 1) x + b

---

f (x) = g (x)

0, 5 (x^{2} + 3) = a x^{2} + b x

\frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} = a x^{2} + b x

(\frac{1}{2} - a) x^{2} - b x + \frac{3}{2} = 0

für x=1 gilt daher:

\frac{1}{2} - a - b + \frac{3}{2} = 0

2 = a + b

und für die Ableitungsgleichung:

0 = 2 a - 1 + b

1 = 2 a + b

Das GLS lautet also:

(\begin{array}{rcl} + 1 & + 1 \\ + 2 & + 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} a \\ b \end{array})

= (\begin{array}{rcl} 2 \\ 1 \end{array})

Roman-22

00:12 Uhr, 10.11.2015

Dein Ergebnis ist richtig, der Rechengang allerdings ein wenig langwierig.

f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 3)

f' (x) = \frac{1}{2} \cdot 2 x = x

Somit

f (1) = 2

und

f' (1) = 1

.

Jetzt

g (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x

und

g' (x) = 2 a \cdot x + b

Also

g (1) = f (1) \to a + b = 2^{} [1]

und

g' (1) = f' (1) \to 2 a + b = 1 [2]

Wie du dieses System , ist natürlich dir überlassen, aber es bietet sich sich doch an:

[2] - [1] : a = - 1

Nun einsetzen zB in

[1] : - 1 + b = 2 \Rightarrow b = 3

Und fertig.

Zusätzliche Sicherheit mag dann noch ein Plot bringen:
Berühr

R

RaiNz aktiv_icon

20:03 Uhr, 10.11.2015

"Also

g (1) = f (1)

→a+b=2

[1]

und g′(1)=f′(1)→2a+b=1

[2]

Wie du dieses System , ist natürlich dir überlassen, aber es bietet sich sich doch an:

[

2]−[1]: a=−1"

Man kann also einfach 2 Gleichungen abziehen

O . o

Das wusste ich noch nicht - oder habe es schon lange wieder verdrängt.

Gibt es da bestimmte Regeln, dass man das kann?

Roman-22

21:01 Uhr, 10.11.2015

>

Gibt es da bestimmte Regeln, dass man das kann?
Das Verfahren firmiert unter "Additionsmethode", "Additionsverfahren", "Eliminationsverfahre", etc. und beruht darauf, dass man sich neue Gleichungen durch Linearkombinationen der gegebenen erzeugen kann.

Letztlich beruht auch die bekannte Gauß'sche Eliminationsmethode darauf.

\to

www.arndt-bruenner.de/mathe/9/additionsverfahren.htm

\to

de.wikipedia.org/wiki/Additionsverfahren_%28Mathematik%29

\to

nibis.ni.schule.de~lbs-gym/klasse9pdf/GleichungssytemedreiVariablen.pdf

\to

duckduckgo.com/?q=Gleichungssystem+Additionsmethode+Additionsverfahren+Eliminationsverfahren

Aber letztlich sollte bei diesem System jedes Verfahren sehr rasch zu Ziel führen.
Du kannst auch

[1]

zB nach

b

umstellen

\to b = 2 - a

und das dann in

[2]

einsetzen

\to 2 a + 2 - a = 1 \Rightarrow a = - 1

. Dann

b = 2 - a = 2 - (- 1) = 3

. (Einsetzverfahren, Substitutionsmethode).

R

RaiNz aktiv_icon

16:54 Uhr, 11.11.2015

Ok, Danke.

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