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Konvexe Funktion, Ableitung

Schüler Ausbildungsstätte,

Tags: Ableitung, konvexe Funktion, Stetigkeit

SoNyu

19:43 Uhr, 16.04.2014

Hi,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Sei

f : ℝ \to ℝ

eine konvexe Funktion. Zeigen Sie:

a) f besitzt an jedem Punkt

x \in ℝ

rechts- und linksseitige Ableitungen.

b) f ist stetig.

Also:

b) zu zeigen sollte kein Problem sein, wenn man a) hat. Denn wenn nach a) für jeden Punkt x\in\mathbb{R} rechts und linksseitige Ableitung existiert, dann ist f in jedem Punkt differenzierbar und damit auch in jedem Punkt stetig.
Denn Differenzierbarkeit impliziert ja gerade Stetigkeit.

Richtig?

Zu a)

Hier weiß ich nicht so recht weiter. Ich kann folgende Aussage verwenden: www.onlinemathe.de/forum/konvexe-Funktion-4

φ : ℝ \ {0} \to ℝ

φ (h) := \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

ist monoton steigend.

Aufgrund der Monotonie ist

f_{-} ʹ (x) := lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \leq f_{+} ʹ (x) := lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

und auch

f_{-} (x) ʹ := lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \leq f (x - 0) ʹ \leq f (x + 0) ʹ \leq f_{+} (x) ʹ := lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Somit existiert der Links und Rechtsseitige Grenzwert der Ableitung.

Passt das so?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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19:49 Uhr, 16.04.2014

"jeden Punkt rechts und linksseitige Ableitung existiert, dann ist f in jedem Punkt differenzierbar"

Diese Aussage ist falsch. Differenzierbar ist sie nur, wenn linksseitige und rechtsseitige Ableitungen gleich sind.

SoNyu

20:00 Uhr, 16.04.2014

Passt denn die a) so?
Da hätte ich ja gezeigt, dass links und rechtsseitige Ableitung übereinstimmen, also kann ich die Stetigkeitsargumentation damit ergänzen.

DrBoogie aktiv_icon

20:21 Uhr, 16.04.2014

Du machst grundsätzlich das Richtige, denn es geht wirklich über die Monotonie von

(f (x + h) - f (x)) / h

, aber es ist noch etwas unsauber bei Dir.

Und das stimmt nicht:
"Da hätte ich ja gezeigt, dass links und rechtsseitige Ableitung übereinstimmen"

Eine konvexe Funktion ist nicht immer differenzierbar, z.B.

f (x) = ∣ x ∣

im Punkt

x = 0

.

Die Stetigkeit folgt übrigens aus der Existenz von beiden links- und rechtsstetigen Ableitungen, denn

f (x + h) = f (x) + f_{+}^{'} (x) h + o (h)

für

h > 0

und

f (x + h) = f (x) + f_{-}^{'} (x) h + o (h)

für

h < 0

SoNyu

20:38 Uhr, 16.04.2014

Okay, und deine letzte Zeile folgt wieder einfach aus der Definition von Konvexität, wobei du o(h) so gewählt hast, dass Gleichheit gilt. Richtig?

DrBoogie aktiv_icon

21:01 Uhr, 16.04.2014

Nein, das ist die Definition von Links-Rechts-Ableitungen, und

o (h)

ist das Landau-Symbol, gemeint etwas vernachlässigbar kleines im Vergleich zu

h

(also z.B.

h^{2}

SoNyu

21:07 Uhr, 16.04.2014

Gut, das Landau-Symbol hatten wir noch nicht.

Vielen Dank für die Tipps.

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