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Kurvendiskussion: Asympt. Verhalten

Schüler Realgymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Asymptote, Asymptotisches Verhalten, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, Polynomfunktion

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22:14 Uhr, 05.05.2011

Hallo Leute,

jetzt wirds peinlich... 12.Klasse und ich habe 0 Durchblick.

Vielleicht wäre ja jemand so lieb gemeinsam mit mir die ganze Sache mal "von vorne aufzurollen"

Also die Begriffe "Definitionslücke, Polstelle, Asymptote, ..." sind mir bekannt, doch kennen tu ich sie kaum..

Habe ich zum Beispiel die Funktion

f (x) = \frac{5 x}{x - 2} -

so findet sich an Stelle

x = 2

eine Definitionslücke

soweit ist mir die Sache klar

Ist

x = 2

nun auch eine Polstelle? Falls ja, weshalb? Und wie gehe ich weiter vor?

Würde mich sehr über eure Unterstützung freuen

Liebe Grüße

Nicki Nugget

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Asymptote (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

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anonymous

23:35 Uhr, 05.05.2011

Ahoi,

da du die Begriffe ja schonmal kennst, erkläre ich nur die Unterschiede.

Schwerer Ansatz:

x_{D}

sei eine Definitionslücke.

x_{D}

ist:

behebbare Lücke, falls

l

l i m

x \to x_{D}

f (x) = c = r

l i m

x \to x_{D}

f (x)

, wobei

l

l i m

eine Annäherung gegen

x_{D}

von links und

r

l i m

von rechts bedeutet. Auf deutsch: Wenn die Funktion bei der Deflücke beidseitig gegen einen Wert strebt, so kann man x_D sinnvoll schließen, ergo ist's eine behebbare Lücke.

Polstelle, falls

l

l i m

x \to x_{D}

f (x) = \pm \infty = r

l i m

x \to x_{D}

f (x)

, wobei man noch zwischen einer Polstelle mit und ohne Vorzeichenwechsel (VZW) unterscheiden kann (z.B. mit VZW, falls (von links):

l

l i m

x \to x_{D}

f (x) = - \infty

und (von rechts)

r

l i m

x \to x_{D}

f (x) = \infty

.

Man muss seine Definitionslücke also auf die Limiten hin überprüfen, um zwischen PS und beheb.L zu unterscheiden. Viel leichter ist allerdings (s.u.):

anonymous

23:36 Uhr, 05.05.2011

Leichter Ansatz:

behebbare Lücken sind Stellen, die man zwar nicht einsetzen darf, die aber sinnvoll ergänzt werden können, da sie einen Funktionswert "haben" (das

c

aus den Limiten oben). Letzteres ist immer dann der Fall, wenn man das zugehörige Polynom aus der Funktion kürzen kann! Ein Beispiel:

f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} - 1}

Deflücken bei

x = 1

und

x = - 1

.

Es ist:

l

l i m

x \to - 1

f (x) = - \infty

und

r

l i m

x \to - 1

f (x) = \infty

, also ist

x = - 1

eine Polstelle.

Weiter ist:

l

l i m

x \to 1

f (x) = 0, 5 = r

l i m

x \to 1

f (x)

, also ist bei

x = 1

eine behebbare Lücke - behebbar durch den Punkt P(1|0,5).

Da x=1 behebbar ist, muss das zugehörige Polynom

(x - 1)

(x minus Nullstelle) kürzbar sein:

f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} - 1} = \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{1}{x + 1}

Jetzt ist auch der Punkt P klar, denn

f (1) = \frac{1}{1 + 1} = 0, 5

Klar soweit? Zum Glück kommt jetzt die einfache Zusammenfassung: ;-)

Deflücke

x_{D}

ist:
behebbar, falls

x_{D}

zugleich Nullstelle des Zählers ist,
Polstelle sonst.

Bsp:

f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 6 x + 8}

Deflücken (durch: Nenner=0), bei

x = 2

und

x = 4

.
Nullstellen (durch: Zähler=0), bei

x = 0

und

x = 2

Die Deflücke bei

x = 2

ist behebbar. Bei

x = 4

hat

f

eine Polstelle.

So, dann bleibt mir, dir viel Spaß mit gebrochen-rationalen Funktionen zu wünschen ;-)!

Gruß, IP

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