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Lagrange Funktion Minimierungsproblem

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung, Differentiation, Extremalwert, Lagrange Funktion, Minimalwert, Partielle Ableitung

Jannik20 aktiv_icon

19:26 Uhr, 04.02.2018

Hallo liebes Onlinemathe Forum,

ich sitze an einer Aufgabe, die mir eigentlich nicht sonderlich schwer fiel, jedoch weicht mein Ergebnis von der Lösung ab. Ich verstehe leider überhaupt nicht was mein Fehler ist.

Betrachten Sie folgendes Minimierungsproblem:

min f = min (x + y)

u . d . N

x^{2} + y^{2} = 1

x, y \geq 0

Hat dieses Minimierungsproblem eine Lösung?

Ich habe die Lagrange Funktion aufgestellt und jeweils nach

x, y

und Nebenbedingung

λ

abgeleitet. Dann das LGS gelöst und erhalte

x = y = λ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Damit wäre die Lösung doch

min f = min (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2}

Leider ist diese Antwort falsch, angeblich ist

min f = 1

aber ich kann dies leider gar nicht nachvollziehen. Könnte mir jemand den entscheidenden Tipp geben? Vielen Dank!

Liebe Grüße,

Jannik

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DrBoogie aktiv_icon

19:34 Uhr, 04.02.2018

Da Du die Bedingungen

x, y \geq 0

hast, kann man das Problem nicht einfach mit der Lagrange-Methode lösen. Dazu gibt's andere Verfahren.
In diesem Fall kann man relativ einfach "zu Fuss" lösen, denn aus

x^{2} + y^{2} = 1

und

x, y \geq 0

folgt

y = \sqrt{1 - x^{2}}

, also muss man einfach das Minimum der Funktion

x + \sqrt{1 - x^{2}}

auf dem Intervall

[0, 1]

finden.

Jannik20 aktiv_icon

19:51 Uhr, 04.02.2018

Hallo DrBoogie,
Danke für deine Antwort.
Wieso kann man denn die Lagrange Funktion nicht anwenden? Gibt es eine Einschränkung wann man die benutzen darf und wann nicht? Und wie kommst du auf

x + \sqrt{1 - x^{2}}

DrBoogie aktiv_icon

19:53 Uhr, 04.02.2018

Langrange-Methode ist nur für Nebenbedingungen, welche durch Gleichungen ausgedrückt sind.
Du hast aber auch Ungleichungen.

Ich habe einfach

y = \sqrt{1 - x^{2}}

in die Zielfunktion eingesetzt.

Jannik20 aktiv_icon

20:26 Uhr, 04.02.2018

Okay ich habe einmal alles umgestellt und ausgerechnet und kriege mit deiner Methode das selbe Ergebnis raus:

x = y = \frac{1}{\sqrt{2}}

. Hast du das mal durchgerechnet und vielleicht etwas anderes rausbekommen? Oder ist die Lösung der Dozentin einfach falsch?

Liebe Grüße

DrBoogie aktiv_icon

20:35 Uhr, 04.02.2018

Dass das Minimum

1

ist, ist doch offensichtlich, denn

x = 0

und

y = 1

erfüllen alle Bedingungen.

Was Du offensichtlich nicht checkst: für die Minimumstelle

x_{0}

einer Funktion

f

auf

[0, 1]

muss gar nicht unbedingt gelten

f^{ʹ} (x_{0}) = 0

. Denn das würde nur gelten für die Minimumstelle im Inneren des Intervalls. Aber das Minimum kann auch auf dem Rand des Intervalls liegen.
Ein einfachstes Beispiel: Minimum von

x

auf

[0, 1]

ist

0

, die Minumumstelle

x_{0} = 0

. Aber die Ableitung von

f (x) = x

ist nie Null.

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