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Lineare Abbildung von Basen im Raum der Polynome

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Ableitung, Basen, basiswechsel, darstellungsmatrix, Linear Abbildung, Matritzen, Transformationsmatrix

anonymous

14:39 Uhr, 28.05.2018

Hallo,

ich bin ein bisschen überfordert mit den unten angehängten zwei Aufgaben.

Bei

A_{P_{2}}

bin ich auf die Abbildungsmatrix

(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

gekommen. Bin mir jedoch nicht ganz sicher ob sie stimmt.

Um den Kern (Aufgabe

c)

zu erhalten würde ich die erhaltenen Matrizen aus Aufgabe

b

gleich 0 Setzen, Gaus anwenden um dann

x_{1}, x_{2}

etc rauszufinden. Für das fehlt mir aber die Vorarbeit der Aufgabe

b

und wäre froh um Eure Hilfe!

Bereits im Voraus viel Dank an diejenigen die sich die Zeit nehmen mir zu helfen

=)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

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ledum aktiv_icon

16:17 Uhr, 28.05.2018

Hallo
wenn du von

3 d

nach

2 d

abbildest hast du eine

3 \times 2

Matrix, also was du hast ohne letzte Zeile.

du schreibst die Matrix so, dass der erste Basisvektor

1,

der zweite

t,

der dritte

t^{2}

ist, die angegebene Reihenfolge ist aber umgekehrt- die erste Spalte ist das Bild es ersten Basisvektors usw. zumindest musst du dazuschreiben, wie du die Basisvektoren numerierst.
entsprechend kannst du ja die Bilder der zweiten Basisvektoren als Spalten aufschreiben. Welche Polynome beim differenzieren auf 0 abgebildet werden weisst du, also kennst du den Kern! das mit der Matrix zu machen solltest du nur zur Überprüfung ob sie richtig ist.
Gruß ledum

anonymous

16:44 Uhr, 28.05.2018

Vielen Dank für deine Antwort.

Wie muss ich dann bei den Basen

B_{P_{2}}

B_{P_{1}}

vorgehen?

ledum aktiv_icon

19:06 Uhr, 28.05.2018

hallo
wieder das Bild der 3 Basisvektoren also hier

b 1 = 4 t^{2} + 2 t

wird auf

8 t + 2

abgebildet also ist das Bild

{(8, \frac{2}{3})}^{T}

entsprechend der zweite auf

{(0, \frac{1}{3})}^{T}

Gruß ledum

anonymous

13:54 Uhr, 30.05.2018

Hallo

mein Problem ist, dass ich nicht nur das Bild brauche sondern in erster linie mal die beiden Matrizen A mit den Basen

A_{1}

mit den Vektoren

v_{1} = t^{2}, v_{2} = t, v_{3} = 1

und

A_{2}

mit den Vektoren

v_{1} = t, v_{2} = 1,

sowie wie Matrize

B

mit den Basen

B_{1}

mit den Vektoren

v_{1} = 4 t^{2} + 2 t, v_{2} = t + 1, v_{3} = 3

und

B_{2}

mit den Vektoren

v_{1} = t, v_{2} = 3

welche zum Abbilden integriert werden müssen.

Ich bin vertraut mit Aufgaben wo ich eine Abbildungsmatix muss erstellen mit Basen aus Zahlenvektoren, aber nicht mit Variablen in den einzelnen Basisvektoren

ledum aktiv_icon

11:15 Uhr, 02.06.2018

Hallo
genau um die Matrix zu finden brauchst du doch die Bilder der Basisvektoren, das sind die Spalten der Matrix, 2 hab ich doch schon hingeschrieben, deshalb versteh ich die Frage nicht wirklich.
Gruß ledum

anonymous

11:29 Uhr, 02.06.2018

Hallo ledum
Ich habe gestern auch noch ein bisschen rumprobiert. Wie bist du auf das Bild

{(8, (\frac{2}{3}))}^{T}

gekommen? Ich erhalte

{(8, - 2)}^{T}

Gruss meliii

ledum aktiv_icon

13:09 Uhr, 02.06.2018

Hallo
das Bild war doch

8 t + 2

also

8 \cdot t, t

der erste Basisvektor und

\frac{2}{3} \cdot 3

mit 3 der zweite Basisvektor. wie kommst du denn auf die

- 2

?
Gruß ledum

anonymous

13:58 Uhr, 03.06.2018

Hallo

Deine Lösung macht irgendwie mehr Sinn als meine...
Ich habe die Aufgabe so gelöst wie das Bild unten zeigt

Gruss meliii

ledum aktiv_icon

16:50 Uhr, 03.06.2018

Hallo ich hatte dir schon im ersten post gesagt, dass du wenn du von

ℝ^{3}

nach

ℝ^{2}

abildest keine

3 \times 3

Matrizen hast sondern

3 \cdot 2

also 2 Zeilen, 3 Spalten! du hast zu viele Nullzeilen! ausserdem weiter die

- 2

statt der

\frac{2}{3}

schreib doch wirklich die Bilder der Basisvektoren in die Spalten, die Basisvektoren haben 2 Komponenten, wo soll da ne dritte vorkommen?
Gruß ledum

anonymous

18:11 Uhr, 04.06.2018

Hallo
vielen Dank für deine Geduld!
Wenn ich jetzt alles richtig verstanden habe sind die gesuchten Matrizen:

A = (\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 8 & 0 & 0 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \end{matrix})

Wie kann man eine Probe machen um die Matrize auf ihre Richtigkeit zu Prüfen?

Gruss meliii

ledum aktiv_icon

12:59 Uhr, 06.06.2018

Hallo
1. kannst du sie mit den Basisvektoren

(1,0,0)

usw multiplizieren, ob das richtige rauskommt,
da di Abbildung ja linear ist bildet sie dann alle vektoren rb_1+sb_2+tb_3 richtig ab.
Deine Matrices sind richtig.
Gruß ledum

anonymous

16:51 Uhr, 06.06.2018

Hallo ledum

super, vielen Dank für deine Hilfe!

Gruss
meliii

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