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Maximum der (Log-)Likelihood berechnen

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Tags: Ableitung, Likelihood, Logarithmus, Maximum-Likelihood, Schätzer, Statistik, Stochastik

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19:12 Uhr, 17.09.2017

Hallo zusammen,

ich lerne gerade auf eine Stochastik Klausur und bin auf ein Problem gestoßen. In einer Übung soll ich den Maximum Likelihood Schätzer eines geometrisch verteilten Zufallsexperiments finden. Die Aufgabenstellung ist folgende:

Sei

X =

(X1...Xn) mit

X ~ G (π)

unabhängig verteilt, also mit Dichten
fx(x,

π) = π {(1 - π)}^{x_{i} - 1}

Berechnen Sie den ML-Schätzer analytisch

Nun weiß ich an sich wie man vorgehen muss: Die Likelihoodfunktion aufstellen, am besten die Log-Likelihoodfunktion berechnen, diese Ableiten, die Ableitung auf 0 setzen, fertig. Im Skript werden die einzelnen Schritte aber leider nie erklärt, deshalb bin ich mir hier unsicher. Die Likelihoodfunktion müsste ja meines Wissens nach

L (X, π) = \prod_{i = 1}^{n} π {(1 - π)}^{x_{i} - 1}

sein. Nun habe ich aber ehrlich gesagt keine Ahnung, wie man von so einer Funktion den Logarithmus oder gar die Ableitung bildet.

Wenn mir also jemand helfen könnte die Log-Likelihood Funktion aufzustellen, könnte ich den Rest der Aufgabe vermutlich schon selber lösen.

Danke schonmal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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DrBoogie aktiv_icon

19:18 Uhr, 17.09.2017

Logarithmus von Produkt ist Summe von Logarithmen:

\ln (\prod_{i = 1}^{n} f_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \ln (f_{i})

.

Du bekommst so die Summe von Termen wie

\ln (π)

und

(x_{i} - 1) \ln (1 - π)

.
Wie man

\ln ()

ableitet, sollte Dir bekannt sein.

info95 aktiv_icon

23:07 Uhr, 17.09.2017

Danke schonmal. Dann müsste die Log-Likelihood ja folgendes sein:

l (π, X) = \sum_{i = 0}^{n} ln (π) + (x_{i} - 1) ln (1 - π)

Die Ableitung hiervon dann:

\sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{π} + (x_{i} - 1) \frac{1}{1 - π}

?

Aber sogar wenn das stimmt, weiß ich noch nicht wirklich wie genau die Lösung aussehen soll. Es scheint mir so, als müsse es abhängig von

X

ganz viele Verschiedene Werte geben, für die diese Ableitung 0 sein könnte.

Mir würde es helfen, wenn vielleicht jemand die nächste Teilaufgabe für mich vorrechnen könnte - da wird dasselbe gefragt, nur mit gegebenem

X = (1, 3, 1, 49, 16, 1, 40, 26, 16, 12)

DrBoogie aktiv_icon

08:03 Uhr, 18.09.2017

"Aber sogar wenn das stimmt, weiß ich noch nicht wirklich wie genau die Lösung aussehen soll. Es scheint mir so, als müsse es abhängig von X ganz viele Verschiedene Werte geben, für die diese Ableitung 0 sein könnte."

Der Schein trügt. Die Ableitung ist aber nicht ganz richtig, statt + muss - stehen. Weiter:

\sum_{i = 1}^{n} (\frac{1}{π} - (x_{i} - 1) \frac{1}{1 - π}) = 0

\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{π} - \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - 1) \frac{1}{1 - π} = 0

\frac{n}{π} = \frac{1}{1 - π} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - 1)

\frac{n (1 - π)}{π} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - 1)

n \frac{1}{π} - n = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - 1)

n \frac{1}{π} = n + \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - 1)

\frac{1}{π} = 1 + (\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - 1)) / n

=>...

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19:41 Uhr, 18.09.2017

Okay, ich denke ich habe es jetzt verstanden. Vielen Dank

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