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NST: Summe von vers. Exponentialfunktionen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: e-Funktion, Exponentialfunktion, Nullstellen, Summe

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22:12 Uhr, 11.04.2011

Guten Abend,
ich habe eine Recht komplizierte e-Funktion, von der ich gerne die Nullstellen berechnen könnte.

Die Funktion ist:

3 + 50 e^{\frac{1}{2} x} + 21 e^{2 x - 1} = 0

Ich bin bisher soweit, dass ich die Funktion aufteile:

3 + 50 e^{\frac{1}{2} x} = - 21 e^{2 x - 1}

Aber ersten weis ich nicht genau was mit der zahl vor dem

e

und der 3 passiert, wenn ich das ganze logarithmiere.

Vielen Dank für Hilfe im vorraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
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22:20 Uhr, 11.04.2011

Versuche,

z = e^{\frac{1}{2} x}

zu substituieren (davor

e^{2 x - 1} = e^{2 x} / e

schreiben).

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22:24 Uhr, 11.04.2011

okay...

\Leftrightarrow 3 + 50 e^{\frac{1}{2} x} = - 21 \frac{e^{2 x}}{e}

setze

e^{\frac{1}{2} x} = z

3 + 50 z =^{- 21} \frac{e^{2 x}}{e}

meinst du so?

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22:25 Uhr, 11.04.2011

Ja, aber der Trick ist, dass du auch auf der rechten Seite die gleiche Substitution machen kannst. :-)

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22:30 Uhr, 11.04.2011

dass heißt ich habe dann

... = - 21 \frac{z^{x}}{z^{0,5}}

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22:37 Uhr, 11.04.2011

Nicht ganz:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

aber

a^{b c} = (a^{b})^{c} = (a^{c})^{b}

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22:47 Uhr, 11.04.2011

das würde ja bedeutet:

- 21 {(e^{x})}^{2} = - 21 {(z^{\frac{x}{\frac{1}{2} \cdot x}})}^{2} = - 21 {(z^{2})}^{2} = - 21 z^{4}

und

e^{- 1} = z^{\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot x}} = z^{- \frac{2}{x}}

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22:51 Uhr, 11.04.2011

Die zweite Zeile ist unnötig, damit führst du ja wieder x in die Gleichung ein.

e^{- 1}

ist eh nur eine Zahl, die kann man einfach stehen lassen. Aber die erste Zeile ist ok. Was passiert nun, wenn du sie in deine Gleichung einsetzt?

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22:59 Uhr, 11.04.2011

\frac{21}{e} \cdot z^{4} + 50 z + 3 = 0

dann einfach den ganzen kram mit den nullstellen durch boxen...

z = 0

\Leftrightarrow f 1 (0) = - 3

usw.
Richtig?

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23:05 Uhr, 11.04.2011

Die erste Gleichung stimmt, aber deine Art Nullstellen zu bestimmen ist etwas seltsam. ;-) Ich muss sagen, ich weiß an dieser Stelle auch nicht weiter, man bräuchte jetzt eine Formel für die Nullstellen von Polynomen vierten Grades. Das ist zwar besser als die Ausgangsgleichung aber immer noch etwas blöd zum Rechnen. Schau dir vielleicht das hier an: www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm (Koeffizienten eingeben und dann "Lösen mit Erläuterungen").

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23:08 Uhr, 11.04.2011

Ja vielen Dank, die Formel ist wirklich immer noch blöd, aber zum Glück ist die Funktion über Abi-Niveau und nur so eine Art worst-case-szenario. Ich hoffe mein Lehrer setzt mir morgen ne einfachere Funktion vor, bei der ich am Ende einfacher die NST bestimmen kann.

Danke

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